混合图的欧拉回路

混合图：即有的边有向，有的边无向。

定义：

对于图G的一个回路，若它恰通过G中每条边一次,则称该回路为欧拉(Euler)回路。 具有欧拉回路的图称为欧拉图（简称E图）。

定理：

一个无向图是欧拉图，当且仅当该图所有顶点度数都是偶数。

一个有向图是欧拉图，当且仅当该图所有顶点度数都是0。

有向图存在欧拉回路的充要条件：基图（把所有有向边变成无向边以后得到的图）连通，且每个点的出度等于入度。

所以求混合图的关键是：判断能否存在一个定向，使得每个节点的入度等于出度。

 

因此可以用网络流来做。建边方法，黑书上有两种，这里讲第二种，更好一点的。图的点数为n + 2，边数为 m + n，其中，n为原点数，m为原边数。

黑书上的讲的我没看太懂，按照我自己的理解，讲一下建图过程。

在原图中，首先给每条无向边任意定向，构成一个有向图，计算每个点的度deg，入度为正，出度为负，如果某个点的deg为奇数，显然不存在欧拉回路。由于原来的有向边，不能更改方向，无用，删了，对原图中的无向边定向后构成的有向图，如果点 i 到j 有一条弧，弧< i ,  j >容量加1(i 到 j 有多条边的时候，即有重边，可以一条边，多容量代替) 增加源点S，汇点T，对于每个点 i ，如果deg < 0，即出度大于入度，从S引一条弧到 i ，容量为(- deg ) / 2；如果deg > 0, 即入度大于出度，从 i 引一条弧到 T，容量为 deg / 2，如果deg = 0，就不用建边了。求新网络的最大流。如果从S出发的所有弧满载，则欧拉回路存在，把所有的有流的弧全部反向(如果某条边容量大于1，流量为几，反向几条边就可以了)，把原图中的有向边再重新加入，就得到了一个有向欧拉回路。

满载是为了流量平衡，为了每个顶点的入度和出度相等。

为什么把有流边反向，就能得到一个欧拉回路呢？

想一想：如果有流边<u, v>反向，则deg[u]就增加了2, deg[v]减少了2, 这就是为什么开始加弧的时候为什么deg要除以2的原因了，每增加一个流量，就有一条起点到终点的路径，把路径上的所有点都反向，则起点的度增加了2, 终点的度减少了2, 中间点度数不变，而起点如果有这条流量，就代表他的出度大，入度小，需要更改临边来使得最终出度等于入度，最大流的这个性质正好满足，如果所有S到v的弧满流了，那么经过上面的操作，v点的出度必然等于入度，如果所有从S出发的弧都满流了，那么就找到以一种定向方式使得原图得到了一个有向欧拉回路。