斯坦福NLP课程 | 第4讲 - 神经网络反向传播与计算图

作者：韩信子@ShowMeAI，路遥@ShowMeAI，奇异果@ShowMeAI
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ShowMeAI为斯坦福CS224n《自然语言处理与深度学习(Natural Language Processing with Deep Learning)》课程的全部课件，做了中文翻译和注释，并制作成了GIF动图！

本讲内容的深度总结教程可以在这里查看。视频和课件等资料的获取方式见文末。

引言

内容覆盖

① 简单神经网络的梯度矩阵与建议
② 计算图与反向传播
③ 神经网络训练实用知识技能
- 正则化（用于环节过拟合）
- 向量化
- 非线性表达能力
- 参数初始化
- 优化算法
- 学习率策略

1.简单神经网络的梯度矩阵与建议

1.1 权重矩阵的导数

让我们仔细看看计算 $\frac{\partial s}{\partial W}$
- 再次使用链式法则

$$ \frac{\partial s}{\partial W}=\frac{\partial s}{\partial h} \frac{\partial h}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial W} $$

$$ \begin{aligned} s &= u^T h \\ h &= f(z) \\ z &= Wx+b \end{aligned} $$

1.2 反向传播梯度求导

这个函数(从上次开始)

$$ \frac{\partial s}{\partial W}=\delta \frac{\partial z}{\partial W}=\delta \frac{\partial}{\partial W} Wx+b $$

考虑单个权重 $W_{ij}$ 的导数
$W_{ij}$ 只对 $z_i$ 有贡献
- 例如 $W_{23}$ 只对 $z_2$ 有贡献，对 $z_1$ 没有贡献

$$ \begin{aligned} \frac{\partial z_{i}}{\partial W_{i j}} &=\frac{\partial}{\partial W_{i j}} W_{i \cdot} x+b_{i} \\ &=\frac{\partial}{\partial W_{i j}} \sum_{k=1}^{d} W_{i k} x_{k}=x_{j} \end{aligned} $$

对于单个 $W_{ij}$ 的导数：

$$ \frac{\partial s}{\partial W_{i j}} = \delta_i x_j $$

我们想要整个 $W$ 的梯度，但是每种情况都是一样的
解决方案：外积

$$ \begin{aligned} \frac{\partial s}{\partial {W}}&=\delta ^{T} x^{T}\\ [n \times m] &= [n \times 1][1 \times m] \end{aligned} $$

1.3 梯度求导：技巧与建议

技巧1：仔细定义变量并关注它们的维度！
技巧2：链式法则！如果 $y = f(u)$ , $u = g(x)$，即 $y = f(g(x))$ 则

$$ \frac{\partial {y}}{\partial {x}}=\frac{\partial {y}}{\partial {u}} \frac{\partial {u}}{\partial {x}} $$

提示3：模型的最上面的softmax部分：首先考虑当 $c = y$ (正确的类)的导数 $f_c$，然后再考虑当 $c \neq y$ (所有不正确的类)的导数 $f_c$
技巧4：如果你被矩阵微积分搞糊涂了，请计算逐个元素的偏导数！
技巧5：使用形状约定。注意：到达隐藏层的错误消息 $\delta$ 具有与该隐藏层相同的维度

1.4 为窗口模型推导梯度

到达并更新单词向量的梯度可以简单地分解为每个单词向量的梯度
令 $\nabla_{x} J=W^{T} \delta=\delta_{x_{w i n d o w}}$
$X_{window}=[X_{museums} \quad X_{in} \quad X_{Paris} \quad X_{are} \quad X_{ amazing}]$
则得到

$$ \begin{aligned} \delta_{window}=\left[\begin{array}{c}{\nabla_{x_{\text {museums}}}} \\ {\nabla_{x_{i n}}} \\ {\nabla_{x_{\text {Pare}}}} \\ {\nabla_{x_{\text {are}}}} \\ {\nabla_{x_{\text {amazing}}}}\end{array}\right] \in \mathbb{R}^{5 d} \end{aligned} $$

我们将根据梯度逐个更新对应的词向量矩阵中的词向量，所以实际上是对词向量矩阵的更新是非常稀疏的

1.5 在窗口模型中更新单词梯度

当我们将梯度更新到词向量中时，这将更新单词向量，使它们(理论上)在确定命名实体时更有帮助。
例如，模型可以了解到，当看到 $x_{in}$ 是中心词之前的单词时，指示中心词是一个 Location

1.6 重新训练词向量时的陷阱

背景：我们正在训练一个单词电影评论情绪的逻辑回归分类模型。

在训练数据中，我们有“TV”和“telly”
在测试数据中我们有“television””
预训练的单词向量有三个相似之处：

问题：当我们更新向量时会发生什么
回答：
- 那些在训练数据中出现的单词会四处移动
  - “TV”和“telly”
- 没有包含在训练数据中的词汇保持原样
  - “television”

1.7 关于再训练的建议

问题：应该使用可用的“预训练”词向量吗？
回答：
- 几乎总是「应该用」
- 他们接受了大量的数据训练，所以他们会知道训练数据中没有的单词，也会知道更多关于训练数据中的单词
- 拥有上亿的数据语料吗？那可以随机初始化开始训练
问题：我应该更新(“fine tune”)我自己的单词向量吗？
回答：
- 如果你只有一个小的训练数据集，不要对预训练词向量做再训练
- 如果您有一个大型数据集，那么基于任务训练更新词向量（ train = update = fine-tune ）效果会更好

2.计算图与反向传播

2.1 反向传播

我们几乎已经向你们展示了反向传播
- 求导并使用(广义)链式法则
另一个技巧：在计算较低层的导数时，我们重用对较深层计算的导数，以减小计算量

2.2 计算图和反向传播

我们把神经网络方程表示成一个图
- 源节点：输入
- 内部节点：操作
- 边传递操作的结果

$$ \begin{aligned} s &= u^Th \\ h &= f(z) \\ z &= Wx+b \\ x & \quad (input) \end{aligned} $$

Forward Propagation：前向传播
Back Propagation：沿着边回传梯度

2.3 反向传播：单神经元视角

节点接收“上游梯度”
- 目标是传递正确的“下游梯度”
每个节点都有局部梯度 local gradient
- 它输出的梯度是与它的输入有关
每个节点都有局部梯度 local gradient
- n它输出的梯度是与它的输入有关
每个节点都有局部梯度 local gradient
- 它输出的梯度是与它的输入有关

有多个输入的节点呢？$z=Wx$
多个输入 → 多个局部梯度

2.4 反向传播计算图示例

2.5 求和形态的梯度计算

上图中的 $\frac{\partial f}{\partial y}$ 的梯度的计算

$$ \begin{aligned} a &= x + y \\ b &= max(y,z)\\ f &= ab \end{aligned} $$

$$ \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial f}{\partial a}\frac{\partial a}{\partial y} + \frac{\partial f}{\partial b}\frac{\partial b}{\partial y} $$

2.6 直挂理解神经元的梯度传递

$+$ “分发” 上游梯度
$max$ “路由” 上游梯度，将梯度发送到最大的方向
$\ast$ “切换”上游梯度

2.7 同步计算所有梯度以提速

错误的反向传播计算方式
- 先计算$b$的偏导
- 接着计算$W$的偏导
- 重复计算！
正确的反向传播计算方式
- 一次性计算所有偏导
- 类似手动计算梯度时的方式

2.8 一般计算图中的反向传播

Fprop：按拓扑排序顺序访问节点
- 计算给定父节点的节点的值
Bprop：
- 初始化输出梯度为 1
- 以相反的顺序方位节点，使用节点的后继的梯度来计算每个节点的梯度
- ${y_1,y_2,\cdots,y_n}$ 是 $x$ 的后继

$$ \frac{\partial z}{\partial x} = \sum_{i=1}^n \frac{\partial z}{\partial y_i}\frac{\partial y_i}{\partial x} $$

正确地说，Fprop 和 Bprop 的计算复杂度是一样的
一般来说，我们的网络有固定的层结构，所以我们可以使用矩阵和雅可比矩阵

2.9 自动微分

梯度计算可以从 Fprop 的符号表达式中自动推断
每个节点类型需要知道如何计算其输出，以及如何在给定其输出的梯度后计算其输入的梯度
现代DL框架(Tensorflow, Pytoch)为您做反向传播，但主要是令作者手工计算层/节点的局部导数

2.10 反向传播的实现

为了计算反向传播，我们需要在前向传播时存储一些变量的值

2.11 实现：前向/反向API

为了计算反向传播，我们需要在前向传播时存储一些变量的值

2.12 梯度检查：数值梯度

对于 $h \approx 1e^{-4}$ , $f^{\prime}(x) \approx \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2 h}$
易于正确实现
但近似且非常缓慢
- 必须对模型的每个参数重新计算 $f$
用于检查您的实现
- 在过去我们手写所有东西的时候，在任何地方都这样做是关键。
- 现在，当把图层放在一起时，就不需要那么多了

2.13 总结

我们已经掌握了神经网络的核心技术
反向传播：沿计算图递归应用链式法则
- [downstream gradient] = [upstream gradient] x [local gradient]
前向传递：计算操作结果并保存中间值
反向传递：应用链式法则计算梯度

2.14 为什么要学习梯度的所有细节？

现代深度学习框架为您计算梯度
但是，当编译器或系统为您实现时，为什么要学习它们呢？
- 了解底层原理是有帮助的
反向传播并不总是完美地工作
- 理解为什么对调试和改进模型至关重要
- 参见 Karpathy文章
未来课程的例子:爆炸和消失的梯度

3.神经网络训练实用知识技能

3.1 模型正则化防止过拟合

实际上一个完整的损失函数包含了所有参数$\theta$的正则化（下式中最后一项），例如L2正则化：

$$ J(\theta)=\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N}-\log (\frac{e^{f_{y_{i}}}}{\sum_{c=1}^{C} e^{f_{c}}})+\lambda \sum_{k} \theta_{k}^{2} $$

正则化(在很大程度上)可以防止在我们有很多特征时过拟合(或者是一个非常强大/深层的模型等等)

3.2 向量化形态

例如，对单词向量进行循环，而不是将它们全部连接到一个大矩阵中，然后将softmax权值与该矩阵相乘
- 1000 loops, best of 3: 639 μs per loop
- 10000 loops, best of 3: 53.8 μs per loop
(10x)更快的方法是使用 $C \times N$ 矩阵
总是尝试使用向量和矩阵，而不是循环
你也应该快速测试你的代码
简单来说：矩阵向量化的方式太棒了

3.3 非线性：常规激活函数

tanh 只是一个重新放缩和移动的 sigmoid (两倍陡峭，[-1,1])

$$ \tanh (z)=2 logistic(2 z)-1 $$

logistic 和 tanh 仍然被用于特定的用途，但不再是构建深度网络的默认值。

tip：logistic和tanh

设计复杂的数学运算，指数计算会减慢速度。所以人们提出了 hard tanh，并且效果很不错。于是才有了 ReLU

3.4 非线性：新的激活函数

为了建立一个前馈深度网络，你应该做的第一件事是ReLU——由于良好的梯度回流，训练速度快，性能好

tip：ReLU

每个单元要么已经死了，要么在传递信息。
非零范围内只有一个斜率，这一位置梯度十分有效的传递给了输入，所以模型非常有效的训练

3.5 参数初始化

通常必须将权重初始化为小的随机值（这样才能在激活函数的有效范围内，即存在梯度可以使其更新）
- 避免对称性妨碍学习/特殊化的
初始化隐含层偏差为0，如果权重为0，则输出(或重构)偏差为最优值(例如，均值目标或均值目标的反s形)
初始化所有其他权重为 Uniform(–r, r)，选择使数字既不会太大也不会太小的 $r$
Xavier初始化中，方差与 fan-in $n_{in}$ (前一层尺寸)和 fan-out $n_{out}$(下一层尺寸)成反比

$$ Var(W_i)=\frac{2}{n_{in}+n_{out}} $$

3.6 优化算法

通常，简单的SGD就可以了

然而，要得到好的结果通常需要手动调整学习速度(下一张幻灯片)
对于更复杂的网络和情况，或者只是为了避免担心，更有经验的复杂的 “自适应”优化器通常会令你做得更好，通过累积梯度缩放参数调整。
这些模型给每个参数调整学习速度
- Adagrad
- RMSprop
- Adam 相当好,在许多情况下是安全的选择
- SparseAdam
- …

3.7 学习率策略

你可以用一个固定的学习速度。从 $lr = 0.001$开始？
- 它必须是数量级的——尝试10的幂
- 太大：模型可能会发散或不收敛
- 太小：你的模型可能训练不出很好的效果
如果你在训练时降低学习速度，通常可以获得更好的效果
- 手工：每隔 $k$ 个阶段(epoch)将学习速度减半
  - epoch = 遍历一次数据 (打乱或采样的)
- 通过一个公式： $l r=l r_{0} e^{-k t}$, {for epoch }t
- 还有更新奇的方法，比如循环学习率(q.v.)
更高级的优化器仍然使用学习率，但它可能是优化器缩小的初始速度——因此可能可以从较高的速度开始