如何 FFT(快速傅里叶变换) 求幅度、频率（超详细 含推导过程）

如何 FFT(快速傅里叶变换) 求幅度、频率（超详细 含推导过程）

为知道这个答案查了很多资料，总结一下。

注：本文代码的头文件等如下

import numpy as np
from scipy.fftpack import fft
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.pylab import mpl

mpl.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']  # 显示中文
mpl.rcParams['axes.unicode_minus'] = False  # 显示负号

一. 打颗栗子

我们设

采样频率为Fs	信号最高频率为F	采样点数为N

并且有如下波形的一个信号。该信号由频率分量为0Hz，200Hz，400Hz和600Hz的四个标准正弦函数组成。

对应完整代码

# 采样点选择1400个，因为设置的信号频率分量最高为600赫兹，根据采样定理知采样频率要大于信号频率2倍，
# 所以这里设置采样频率为1400赫兹（即一秒内有1400个采样点）
N = 1400  # 设置1400个采样点
x = np.linspace(0, 1, N)  # 将0到1平分成1400份

# 设置需要采样的信号，频率分量有0，200，400和600
y = 7 * np.sin(2 * np.pi * 200 * x) + 5 * np.sin(
    2 * np.pi * 400 * x) + 3 * np.sin(2 * np.pi * 600 * x) + 10  # 构造一个演示用的组合信号

plt.plot(x, y)
plt.title('原始波形')
plt.show()

可以看出，在这个例子中

采样频率Fs	信号最高频率F	采样点数N
1400Hz	600Hz	1400个

二. 求幅度

1. 快速傅里叶变换

在此基础上，我们进行快速傅里叶变换(FFT)，得到N个复数。每一个复数值包含着一个特定频率的信息。根据这N个复数，可以知道拆分原始信号得到的各个频率和他们的幅度值。

对应代码

fft_y = fft(y)  # 使用快速傅里叶变换，得到的fft_y是长度为N的复数数组

根据此数据，可以画出下面这个不是很规则的图。
（在求幅度这一节，我们先把精力集中在纵轴，横轴将在下一节求频率的时候讲解。）

对应完整代码如下

N = 1400  # 设置1400个采样点
x = np.linspace(0, 1, N)  # 将0到1平分成1400份
y = 7 * np.sin(2 * np.pi * 200 * x) + 5 * np.sin(
    2 * np.pi * 400 * x) + 3 * np.sin(2 * np.pi * 600 * x) + 10  # 构造一个演示用的组合信号
fft_y = fft(y)  # 使用快速傅里叶变换，得到的fft_y是长度为N的复数数组

x = np.arange(N)  # 频率个数 （x的取值涉及到横轴的设置，这里暂时忽略，在第二节求频率时讲解）

plt.plot(x, fft_y, 'black')
plt.title('双边振幅谱(未求振幅绝对值)', fontsize=9, color='black')

plt.show()

2. 求出复数的绝对值

用复数直接画出的图不是我们需要的。应先求出全部N个复数的绝对值（模长）

abs_y = np.abs(fft_y)  # 取复数的绝对值，即复数的模

据此可画出下图

3. 归一化

上图中，左侧第一个竖线的纵坐标值，是 从原始信号中提取出来的0Hz对应的信号强度（信号振幅），又称 直流分量。它对应的信号振幅为 当前值/FFT的采样点数N，即

0Hz对应振幅 = 当前值 / 采样点数N

注：

1. 本例中，直流分量对应振幅 = 14000 / 1400 = 10
2. 当前值为根据当前复数求出的绝对值（模长），对应图中竖线的纵坐标最大值

直流分量以外的分量所对应的信号振幅为 当前值/（采样点数N/2），即

其余频率对应的振幅 = 当前值 /（采样点数N / 2）

注：

1. 本例中，200Hz对应振幅 = 5000 / (1400 / 2) ≈ 7.14（这里的5000是对200Hz对应纵坐标的估计值，只是为了举例，不一定准确），其余频率对应振幅算法相同。

于是，在归一化后，我们得到下图

对应完整代码

N = 1400  # 设置1400个采样点
x = np.linspace(0, 1, N)  # 将0到1平分成1400份
y = 7 * np.sin(2 * np.pi * 200 * x) + 5 * np.sin(
    2 * np.pi * 400 * x) + 3 * np.sin(2 * np.pi * 600 * x) + 10  # 构造一个演示用的组合信号
fft_y = fft(y)  # 使用快速傅里叶变换，得到的fft_y是长度为N的复数数组

x = np.arange(N)  # 频率个数（x的取值涉及到横轴的设置，这里暂时忽略，在第二节求频率时讲解）

abs_y = np.abs(fft_y)  # 取复数的绝对值，即复数的模
normalization_y = abs_y / (N / 2)  # 归一化处理（双边频谱）
normalization_y[0] /= 2

plt.plot(x, abs_y, 'r')
plt.title('双边振幅谱(归一化)', fontsize=9, color='red')
plt.show()

小结

直流分量(0Hz)振幅	其余频率振幅
fft得到的复数的绝对值 / N	fft得到的复数的绝对值 / (N / 2)

三. 求频率

这里先放上一段文字，这段话较为形象的解释了求频率的方法。

举个例子，你有一个最高频率f = 32kHz的模拟信号，采样频率 64kHz，对这个信号做一个16个点的FFT分析，采样点下标 n 的范围是0, 1, 2, 3, …, 15。那么64kHz的模拟频率被分成了16份，每一份是4kHz，这个4kHz被称为频率分辨率。
所以，频率图的横坐标中：
n=1 对应的f是4kHz
n=2 对应的f是8kHz
…
n=15 对应的f是60kHz
而频谱是关于n=8对称的，只需关心n = 0 ~ 7的频谱就足够了。因为，原信号的最高频率是32kHz。
（本段改编自参考资料1）

1. 频率公式

因此，在知道了采样频率Fs后，快速傅里叶变换(FFT)后的第x个（x从0开始）复数值对应的实际频率为

f(x) = x * (Fs / n)

于是，在这个例子中，

第0个点的频率 f(0) = 0 * (1400 / 1400) = 0
第1个点的频率 f(0) = 1 * (1400 / 1400) = 1
第2个点的频率 f(0) = 2 * (1400 / 1400) = 2
…
第200个点的频率 f(200) = 200 * (1400 / 1400) = 200
…
第1400个点的频率 f(200) = 1400 * (1400 / 1400) = 1400
（这里由于设置得很巧合，第x个点对应的频率恰好就是x）

现在便知，x轴坐标值为何如此设定。

2. 删去重复值

而只有0 ~ N/2 这一半的频率是有效的，另一半与这一半对称。去重后，我们便得到下图

对应完整代码：

N = 1400  # 设置1400个采样点
x = np.linspace(0, 1, N)  # 将0到1平分成1400份
y = 7 * np.sin(2 * np.pi * 200 * x) + 5 * np.sin(
    2 * np.pi * 400 * x) + 3 * np.sin(2 * np.pi * 600 * x) + 10  # 构造一个演示用的组合信号
fft_y = fft(y)  # 使用快速傅里叶变换，得到的fft_y是长度为N的复数数组

x = np.arange(N)  # 频率个数（x的取值涉及到横轴的设置，这里暂时忽略，在第二节求频率时讲解）
half_x = x[range(int(N / 2))]  # 取一半区间

abs_y = np.abs(fft_y)  # 取复数的绝对值，即复数的模
normalization_y = abs_y / (N / 2)  # 归一化处理（双边频谱）
normalization_y[0] /= 2
normalization_half_y = normalization_y[range(int(N / 2))]  # 由于对称性，只取一半区间（单边频谱）

plt.plot(half_x, normalization_half_y, 'blue')
plt.title('单边振幅谱(归一化)', fontsize=9, color='blue')
plt.show()

小结

FFT后得到的n个复数值中，第x个（x从0开始）复数值对应的频率f(x)为

f(x) = x * (Fs / n)

附录：完整代码

import numpy as np
from scipy.fftpack import fft
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.pylab import mpl

mpl.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']  # 显示中文
mpl.rcParams['axes.unicode_minus'] = False  # 显示负号

# 采样点选择1400个，因为设置的信号频率分量最高为600赫兹，根据采样定理知采样频率要大于信号频率2倍，
# 所以这里设置采样频率为1400赫兹（即一秒内有1400个采样点，一样意思的）
N = 1400
x = np.linspace(0, 1, N)

# 设置需要采样的信号，频率分量有0，200，400和600
y = 7 * np.sin(2 * np.pi * 200 * x) + 5 * np.sin(
    2 * np.pi * 400 * x) + 3 * np.sin(2 * np.pi * 600 * x) + 10

fft_y = fft(y)  # 快速傅里叶变换

x = np.arange(N)  # 频率个数
half_x = x[range(int(N / 2))]   # 取一半区间

angle_y = np.angle(fft_y)       # 取复数的角度

abs_y = np.abs(fft_y)               # 取复数的绝对值，即复数的模(双边频谱)
normalization_y = abs_y / (N / 2)   # 归一化处理（双边频谱）
normalization_y[0] /= 2             # 归一化处理（双边频谱）
normalization_half_y = normalization_y[range(int(N / 2))]  # 由于对称性，只取一半区间（单边频谱）


plt.subplot(231)
plt.plot(x, y)
plt.title('原始波形')

plt.subplot(232)
plt.plot(x, fft_y, 'black')
plt.title('双边振幅谱(未求振幅绝对值)', fontsize=9, color='black')

plt.subplot(233)
plt.plot(x, abs_y, 'r')
plt.title('双边振幅谱(未归一化)', fontsize=9, color='red')

plt.subplot(234)
plt.plot(x, angle_y, 'violet')
plt.title('双边相位谱(未归一化)', fontsize=9, color='violet')

plt.subplot(235)
plt.plot(x, normalization_y, 'g')
plt.title('双边振幅谱(归一化)', fontsize=9, color='green')

plt.subplot(236)
plt.plot(half_x, normalization_half_y, 'blue')
plt.title('单边振幅谱(归一化)', fontsize=9, color='blue')

plt.show()

附录：原理解释 & 推导过程

深入浅出的原理解释视频请见：快速傅里叶变换（FFT）——有史以来最巧妙的算法□

硬核直接的公式推导推荐这篇文章：傅里叶变换中，圆频率w与频率f之间的公式转化

参考资料：

1. 数字信号处理中的归一化频率
2. 使用python（scipy和numpy）实现快速傅里叶变换（FFT）最详细教程
3. FFT后得到复数，如何根据这个复数求频率？
4. FFT之频率与幅值的确定
5. 傅里叶变换中，圆频率w与频率f之间的公式转化
6. 快速傅里叶变换（FFT）——有史以来最巧妙的算法 - 知乎