综合评价法之秩和比法（RSR）

在编制指标体系和数据分析时，需要从多个维度对多个评价对象进行综合评价时，可以考虑使用秩和比法。从实验数据来看，当评价对象较多时，结果会呈现较好的正态分布特征。

1. 背景介绍

秩和比法（Rank-sum ratio，简称RSR法），是我国学者、原中国预防医学科学院田凤调教授于1988年提出的，集古典参数统计与近代非参数统计各自优点于一体的统计分析方法。

它不仅适用于四格表资料的综合评价，也适用于行×列表资料的综合评价，同时也适用于计量资料和分类资料的综合评价。

RSR法现在广泛地应用于医疗卫生、科技、经济等邻域的多指标综合评价、统计预测预报、鉴别分类、统计质量控制等方面。

2. 设计思想

使用数据大小的相对关系，对评价对象进行排名，根据排名的结果计算得到RSR。

一般过程是将效益型指标从小到大排序进行排名、成本型指标从大到小排序进行排名，再计算秩和比，最后统计回归、分档排序。通过秩转换，获得无量纲统计量RSR；

在此基础上，运用参数统计分析的概念与方法，研究RSR的分布；以RSR值对评价对象的优劣直接排序或分档排序，从而对评价对象做出综合评价。

2.1 优点

以非参数法为基础，对指标的选择无特殊要求，适用于各种评价对象，由于计算时使用的数值是秩次，可以消除异常值的干扰。

2.1 缺点

排序的主要依据是利用原始数据的秩次，最终算得的 RSR 值反映的是综合秩次的差距，而与原始数据的顺位间的差距程度大小无关，这样在指标转化为秩次是会失去一些原始数据的信息，如原始数据的大小差别等。

当 RSR 值实际上不满足正态分布时，分档归类的结果与实际情况会有偏差（根据中心极限定理，样本量大时会趋近于正态分布），且只能回答分级程度是否有差别，不能进一步回答具体的差别情况。

3. 计算步骤

此处计算步骤以基金投资案例说明，选取7个指标对基金投资进行评价。

其中X1,X2,X3为正向指标（效益型指标），值越大越好，排序时从小到大排。

​ X4,X5为负向指标（成本型指标），值越低越好，排序时从大到小排。

原始数据如下：

	X1	X2	X3	X4	X5
1	34100	0.999091	0.98	0.971793	0.002727
2	22630	0.673973	0.673973	1	0
3	5766	0.774194	0.774194	0.993056	0
4	992	1	0.9375	0.71875	0.21875
5	13206	0.680751	0.664319	0.775862	0.00939
6	26319	0.831567	0.804476	0.805949	0.014134
7	45601	0.807614	0.7845	0.771886	0.004759
8	34007	0.836828	0.807657	0.899782	0.000912
9	34565	0.910314	0.896861	0.796059	0.006278
10	5735	1	1	1	0

3.1 编秩

编秩方法有整次秩和比法和非整次秩和比法。

3.1.1 整次秩和比法

将 n 个评价对象的 m 个评价指标排列成 n 行 m 列的原始数据表。编出每个指标各评价对象的秩，其中效益型指标从小到大编秩，成本型指标从大到小编秩，同一指标数据相同者编平均秩。

得到秩矩阵 $R={\left(R_{ij}\right)}_{m\times n}$

如下表：

1. 对X2按从小到大排序，其中值为1的两个指标（ $R_{4,2}$， $R_{10,1}$ ），按算术平均进行编秩：(9+10)/2=9.5
2. 对X5按从大到小排序，其中值为0的三个指标，按算术平均进行编秩：(8+9+10)/3=9

	X1	R1	X2	R2	X3	R3	X4	R4	X5	R5
1	34100	8	0.999091	8	0.98	9	0.971793	4	0.002727	6
2	22630	5	0.673973	1	0.673973	2	1	1.5	0	9
3	5766	3	0.774194	3	0.774194	3	0.993056	3	0	9
4	992	1	1	9.5	0.9375	8	0.71875	10	0.21875	1
5	13206	4	0.680751	2	0.664319	1	0.775862	8	0.00939	3
6	26319	6	0.831567	5	0.804476	5	0.805949	6	0.014134	2
7	45601	10	0.807614	4	0.7845	4	0.771886	9	0.004759	5
8	34007	7	0.836828	6	0.807657	6	0.899782	5	0.000912	7
9	34565	9	0.910314	7	0.896861	7	0.796059	7	0.006278	4
10	5735	2	1	9.5	1	10	1	1.5	0	9

3.1.1 非整次秩和比法

用类似于线性插值（也比较像优劣解距离法）的方式对指标值进行编秩，以改进 RSR 法编秩方法的不足，所编秩次与原指标值之间存在定量的线性对应关系，从而克服了 RSR 法秩次化时易损失原指标值定量信息的缺点。

• 对于正向指标（效益型指标）： $R_{ij}=1+\left(n-1\right)\frac{X_{ij}-min\left(X_{1j},X_{2j},...,X_{nj}\right)}{max\left(X_{1j},X_{2j},...,X_{nj}\right)-min\left(X_{1j},X_{2j},...,X_{nj}\right)}$
• 对于负向指标（成本型指标）： $R_{ij}=1+\left(n-1\right)\frac{max\left(X_{1j},X_{2j},...,X_{nj}\right)-X_{ij}}{max\left(X_{1j},X_{2j},...,X_{nj}\right)-min\left(X_{1j},X_{2j},...,X_{nj}\right)}$

3.2 计算RSR

将某对象的各秩乘以相应的权重并求和后，除以对象个数，得到该对象的RSR，公式： $RS{R}_i=\frac{1}{n}{\sum }_{j=1}^m{\omega }_j{R}_{ij}$

其中，$i$表示某个对象，$j$表示各指标的序号。

当各指标权重相同时，权重 ${\omega }_j=\frac{1}{m}$ ，RSR的计算可以简化为： $RS{R}_i=\frac{1}{mn}{\sum }_{j=1}^m{R}_{ij}$

• 本步骤计算得到的RSR，即可作为为各对象综合评价得分。
• 有时我们不仅需要计算综合得分，还需要对评价对象进行分级，此时可以从正态分布的角度对各评价对象分级。

本例中使用整次秩和比法编秩，计算结果如下，如 $RS{R}_{11}=\left(8+8+9+4+6\right)/(5\times 10)=0.7$

	X1	X2	X3	X4	X5	R1	R2	R3	R4	R5	RSR
1	34100	0.999091	0.980000	0.971793	0.002727	8	8	9	4	6	0.7
2	22630	0.673973	0.673973	1	0	5	1	2	1.5	9	0.37
3	5766	0.774194	0.774194	0.993056	0	3	3	3	3	9	0.42
4	992	1	0.937500	0.71875	0.21875	1	9.5	8	10	1	0.59
5	13206	0.680751	0.664319	0.775862	0.00939	4	2	1	8	3	0.36
6	26319	0.831567	0.804476	0.805949	0.014134	6	5	5	6	2	0.48
7	45601	0.807614	0.784500	0.771886	0.004759	10	4	4	9	5	0.64
8	34007	0.836828	0.807657	0.899782	0.000912	7	6	6	5	7	0.62
9	34565	0.910314	0.896861	0.796059	0.006278	9	7	7	7	4	0.68
10	5735	1	1.000000	1	0	2	9.5	10	1.5	9	0.64

3.3 评价对象分级

对RSR进行分布检验，确认分布之后通过分布的概率进行分级。主要步骤：

1. 通过将RSR进行排序，并转为概率单位Probit
2. 回归分析，计算出回归方程
3. 将第1步的概率单位代入到第2步的回归方程，计算出校正RSR值
4. 根据校正RSR值进行分级

3.3.1 确定RSR分布

确定RSR分布是指用概率单位Probit表达值的累计频率。Probit模型是一种广义的线性模型，服从正态分布。其转换步骤为：

1. 编制RSR频数分布表，列出各组频数 $f$ ，计算各组累计频数 $\sum f$
2. 为各组RSR编秩
3. 计算累计频率 $\bar{R}/n\times 100$ ，最后一项使用 $1-\frac{1}{4n}$ 进行修正。（不修正的话，该值对应的Probit为无穷大，不能用于计算）
4. 将累计频率换算为概率单位$Probit$，Probit为累计频率对应的标准正态离差加5。（研究过程经常通过加5，使结果都为正数）

以上4个步骤为理论步骤，实际操作中可以简化为：

1. 将RSR按从小到大进行排序，计算各RSR值的分位数，RSR值一样的分位数使用算术平均值法计算。（该分位数结果与上一方法中第3步一致）
2. 将累计频率换算为概率单位Probit，Probit为累计频率对应的标准正态离差加5。换算时将分位数值为1的使用 $1-\frac{1}{4n}$ 进行修正。

	X1	X2	X3	X4	X5	R1	R2	R3	R4	R5	RSR	f	Σf	$\bar{R}/n$	$\bar{R}/n$ 修正	原Probit	Probit
1	13206	0.680751	0.664319	0.775862	0.00939	4	2	1	8	3	0.36	1	1	0.1	0.1	-1.28155	3.718448
2	22630	0.673973	0.673973	1	0	5	1	2	1.5	9	0.37	1	2	0.2	0.2	-0.84162	4.158379
3	5766	0.774194	0.774194	0.993056	0	3	3	3	3	9	0.42	1	3	0.3	0.3	-0.5244	4.475599
4	26319	0.831567	0.804476	0.805949	0.014134	6	5	5	6	2	0.48	1	4	0.4	0.4	-0.25335	4.746653
5	992	1	0.937500	0.71875	0.21875	1	9.5	8	10	1	0.59	1	5	0.5	0.5	0	5
6	34007	0.836828	0.807657	0.899782	0.000912	7	6	6	5	7	0.62	1	6	0.6	0.6	0.253347	5.253347
7	45601	0.807614	0.784500	0.771886	0.004759	10	4	4	9	5	0.64	1	7.5	0.75	0.75	0.67449	5.67449
8	5735	1	1.000000	1	0	2	9.5	10	1.5	9	0.64	1	7.5	0.75	0.75	0.67449	5.67449
9	34565	0.910314	0.896861	0.796059	0.006278	9	7	7	7	4	0.68	1	9	0.9	0.9	1.281552	6.281552
10	34100	0.999091	0.980000	0.971793	0.002727	8	8	9	4	6	0.7	1	10	1	0.975	1.959964	6.959964

3.3.2 计算回归方程

1. 通过QQ图的方式对数据进行正态性检验。以累积频率所对应的概率单位Probit为自变量，RSR值为因变量，计算直线回归方程： $RSR=a+b\times Probit$
2. 计算出回归方程之后，需要进行校验，主要包括：残差独立性检验、方差齐性检验、回归系数有效性检验、拟合优度检验

​ 此处的校验R-squared和Adj. R-squared值并不高，因为数据做了截取。在真实数据中这两项的值都超过了0.99

3.3.3 计算校正RSR值

将Probit代入回归方程，计算出校正RSR值

	X1	X2	X3	X4	X5	R1	R2	R3	R4	R5	RSR	f	Σf	R/n	R/n’	Probit	Probit’	regression
1	13206	0.680751	0.664319	0.775862	0.00939	4	2	1	8	3	0.36	1	1	0.1	0.1	-1.28155	3.718448	0.368154
2	22630	0.673973	0.673973	1	0	5	1	2	1.5	9	0.37	1	2	0.2	0.2	-0.84162	4.158379	0.42236
3	5766	0.774194	0.774194	0.993056	0	3	3	3	3	9	0.42	1	3	0.3	0.3	-0.5244	4.475599	0.461446
4	26319	0.831567	0.804476	0.805949	0.014134	6	5	5	6	2	0.48	1	4	0.4	0.4	-0.25335	4.746653	0.494844
5	992	1	0.937500	0.71875	0.21875	1	9.5	8	10	1	0.59	1	5	0.5	0.5	0	5	0.52606
6	34007	0.836828	0.807657	0.899782	0.000912	7	6	6	5	7	0.62	1	6	0.6	0.6	0.253347	5.253347	0.557276
7	45601	0.807614	0.784500	0.771886	0.004759	10	4	4	9	5	0.64	1	7.5	0.75	0.75	0.67449	5.67449	0.609168
8	5735	1	1.000000	1	0	2	9.5	10	1.5	9	0.64	1	7.5	0.75	0.75	0.67449	5.67449	0.609168
9	34565	0.910314	0.896861	0.796059	0.006278	9	7	7	7	4	0.68	1	9	0.9	0.9	1.281552	6.281552	0.683967
10	34100	0.999091	0.980000	0.971793	0.002727	8	8	9	4	6	0.7	1	10	1	0.975	1.959964	6.959964	0.767558

3.3.4 根据校正RSR分级

在分级时可以按照合理拍档或最佳拍档原则进行分级。本例中将40%以下的作为C等，80%以下的作为B等，其余的作为A等。40%，80%对应的就是正态分布函数的累计概率（面积）。

注：其实在实际操作中，level分类时，直接使用regression的分位数得到的效果也是一样的，而且操作起来更简单。

	X1	X2	X3	X4	X5	R1	R2	R3	R4	R5	RSR	f	Σf	R/n	R/n’	Probit	Probit’	regression	level
1	13206	0.680751	0.664319	0.775862	0.00939	4	2	1	8	3	0.36	1	1	0.1	0.1	-1.28155	3.718448	0.368154	C
2	22630	0.673973	0.673973	1	0	5	1	2	1.5	9	0.37	1	2	0.2	0.2	-0.84162	4.158379	0.42236	C
3	5766	0.774194	0.774194	0.993056	0	3	3	3	3	9	0.42	1	3	0.3	0.3	-0.5244	4.475599	0.461446	C
4	26319	0.831567	0.804476	0.805949	0.014134	6	5	5	6	2	0.48	1	4	0.4	0.4	-0.25335	4.746653	0.494844	C
5	992	1	0.937500	0.71875	0.21875	1	9.5	8	10	1	0.59	1	5	0.5	0.5	0	5	0.52606	B
6	34007	0.836828	0.807657	0.899782	0.000912	7	6	6	5	7	0.62	1	6	0.6	0.6	0.253347	5.253347	0.557276	B
7	45601	0.807614	0.784500	0.771886	0.004759	10	4	4	9	5	0.64	1	7.5	0.75	0.75	0.67449	5.67449	0.609168	B
8	5735	1	1.000000	1	0	2	9.5	10	1.5	9	0.64	1	7.5	0.75	0.75	0.67449	5.67449	0.609168	B
9	34565	0.910314	0.896861	0.796059	0.006278	9	7	7	7	4	0.68	1	9	0.9	0.9	1.281552	6.281552	0.683967	A
10	34100	0.999091	0.980000	0.971793	0.002727	8	8	9	4	6	0.7	1	10	1	0.975	1.959964	6.959964	0.767558	A

4. 相关代码Python

import pandas as pd
import statsmodels.api as sm
from warnings import simplefilter
from scipy.stats import norm
 
df = pd.DataFrame([
    [34100, 0.999091, 0.98, 0.971793, 0.002727],
    [22630, 0.673973, 0.673973, 1, 0],
    [5766, 0.774194, 0.774194, 0.993056, 0],
    [992, 1, 0.9375, 0.71875, 0.21875],
    [13206, 0.680751, 0.664319, 0.775862, 0.00939],
    [26319, 0.831567, 0.804476, 0.805949, 0.014134],
    [45601, 0.807614, 0.7845, 0.771886, 0.004759],
    [34007, 0.836828, 0.807657, 0.899782, 0.000912],
    [34565, 0.910314, 0.896861, 0.796059, 0.006278],
    [5735, 1, 1, 1, 0]
], columns=["X1", "X2", "X3", "X4", "X5"])
# 正向指标,从小到大排序
df["R1"] = df["X1"].rank(ascending=True, method="average")
df["R2"] = df["X2"].rank(ascending=True, method="average")
df["R3"] = df["X3"].rank(ascending=True, method="average")
# 负向指标,从大到小排
df["R4"] = df["X4"].rank(ascending=False, method="average")
df["R5"] = df["X5"].rank(ascending=False, method="average")
# 计算RSR值
df["RSR"] = df.loc[:, ["R1", "R2", "R3", "R4", "R5"]].sum(axis=1) / (5 * 10)
# 排序
df.sort_values(by="RSR", inplace=True)
# 因为实际数据没有重复,此处偷懒,直接写1
df["f"] = 1
df["Σf"] = df["RSR"].rank(method="average")
df["R/n"] = df["Σf"] / len(df)
df["R/n'"] = df["R/n"]
df.iat[-1, -1] = 1 - 1 / 4 / len(df)
 
df["Probit"] = norm.ppf(df["R/n'"])
df["Probit'"] = df["Probit"] + 5
import numpy as np
 
r0 = np.polyfit(df["Probit'"], df["RSR"], deg=1)
if r0[1] > 0:
    print(f"\n回归直线方程为：y = {r0[0]} Probit + {r0[1]}")
else:
    print(f"\n回归直线方程为：y = {r0[0]} Probit - {abs(r0[1])}")
 
simplefilter(action="ignore", category=FutureWarning)
simplefilter(action="ignore", category=UserWarning)
print(sm.OLS(df["Probit"], sm.add_constant(df["RSR"])).fit().summary())
df["regression"] = np.polyval(r0, df["Probit'"])
 
C_LEVEL = norm.ppf(0.4) + 5
B_LEVEL = norm.ppf(0.8) + 5
A_LEVEL = 10
 
threshold = np.polyval(r0, [0, C_LEVEL, B_LEVEL, A_LEVEL])
print("threshold:", threshold)
df["level"] = pd.cut(df["regression"], threshold, labels=["C", "B", "A"])
df["regression_pct"] = df["regression"].rank(pct=True, ascending=True, method="average")
# 设置pandas打印时显示的列数
pd.set_option("display.max_columns", 1000)
pd.set_option("display.max_columns", None)
pd.set_option("display.width", 1000)
print(df)