梯度的降维性理解梯度与法向量方向相同

关于梯度与法向量的理解：

梯度定义为指向函数增长最快的方向，其大小反映了函数增长的快慢。
梯度指向与垂直于等高面的法向量的方向相同。

设函数$f(x,y)=x^2+y^2$，在空间中是一个锥面，其梯度为（2x,2y)，一直不能理解这为什么是法向量的方向？垂直于锥面应该是在-z方向有一个量才对啊。
错！！！这是由于梯度具有降维性。
梯度里面包含的变量只有x和y，所以梯度变量只在x，y二维平面有意义，这里的梯度指向（x，y）方向。如果把函数$f(x,y)=x^2+y^2=C$画出来，事实上是x，y二维平面上的一个圆。在某一点（x，y）上，其梯度（2x，2y）总是垂直指向外面更大的圆，此即指向增长最快的方向。

例子：
定义在二维平面（x，y）点山的高度为h，则梯度指向高度变换最快的方向仍然是在（x，y）平面上。
室内每个点的温度定义为一个数量场，此时包含温度的空间是4维，则某点的梯度指向温度变化最大的方向，是3维向量。

在一元方程中，比如y=x上，梯度的法向量作何解释？
事实上，此时的梯度就是导数，y对x的梯度就是1，二维降维为一维，所以是一个沿着x轴的一维向量，也就是一个数。