【高数】变上限积分的等价无穷小替换

被积函数等价无穷小替换

• 若 $x\to 0$ 时 $\phi (x),f(x),g(x)$ 均为无穷小
  且 $x\to 0$ 时 $f(x)\sim g(x)$
  且 ${\phi }^{\prime }(x)$ 存在且不为零
  则当 $x\to 0$ 时：
  $${\int }_0^{\phi (x)}f(t)dt\sim {\int }_0^{\phi (x)}g(t)dt$$
• 证明部分：
  证明两个部分的极限为 $1$ 即可，使用洛必达即可证明。
  $x\to 0$ 时（下式省略 ${\lim }_{x\to 0}$），有：
  $$\begin{array}{rl}\frac{{\int }_0^{\phi (x)}f(t)dt}{{\int }_0^{\phi (x)}g(t)dt}& \stackrel{L^{\prime }}{=}\frac{{\phi }^{\prime }(x)f(\phi (x))}{{\phi }^{\prime }(x)g(\phi (x))}\\ & =\frac{f(\phi (x))}{g(\phi (x))}\\ & \stackrel{t=\phi (x)}{=}\frac{f(t)}{g(t)}\\ & =1\end{array}$$

积分上限等价无穷小替换

• 若 $x\to 0$ 时 $f(x),\phi (x),\psi (x)$ 都是无穷小
  且 $x\to 0$ 时，$\phi (x)\sim \psi (x)$
  且 ${\lim }_{x\to 0}\frac{{\phi }^{\prime }(x)}{{\psi }^{\prime }(x)}$ 存在
  且 $f(x)$ 有连续导数，且 $x\in \mathring{U}(0,\delta ),有f^{\prime }(x)\ne 0$ ，注意下是去心领域。
  那么当 $x\to 0$ 时，有：
  $${\int }_0^{\phi (x)}f(t)dt\sim {\int }_0^{\psi (x)}f(t)dt$$
• 证明部分
  $x\to 0$ 时（下式省略 ${\lim }_{x\to 0}$），有：
  $$\begin{array}{rl}\frac{{\int }_0^{\phi (x)}f(t)dt}{{\int }_0^{\psi (x)}f(t)dt}& \stackrel{L^{\prime }}{=}\frac{{\phi }^{\prime }(x)f(\phi (x))}{{\psi }^{\prime }(x)f(\psi (x))}\\ & \stackrel{(1)}{=}\frac{f(\phi (x))}{f(\psi (x))}\\ & =\frac{f(\phi (x))-f(0)}{f(\psi (x))-f(0)}\\ & \stackrel{(2)}{=}\frac{\phi (x)f^{\prime }({\xi }_1)}{\psi (x)f^{\prime }({\xi }_2)}\\ & \stackrel{(3)}{=}\frac{f^{\prime }(0)}{f^{\prime }(0)}\\ & =1QED\end{array}$$
• （1） 部分：
  $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\phi (x)}{\psi (x)}=1$$
  是已知的等价无穷小，由于都有一阶导数，上下洛必达，极限不变，得到
  $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\phi }^{\prime }(x)}{{\psi }^{\prime }(x)}=1$$
• （2） 部分：
  中值定理：
  $$f(b)-f(a)=f^{\prime }(\xi )(b-a)\xi \in (a,b)$$
• （3） 部分：
  由于 $f(x)$ 有连续导数
  且 $\xi \in (0,\phi (x))$
  得到
  $f^{\prime }(\xi )$ 在 $f^{\prime }(0)$ 和 $f^{\prime }(\phi (x))$ 之间，夹逼定理得到 $f^{\prime }(\xi )=f^{\prime }(0)$
  对于 $\psi (x)$ 过程类似。

例题

• 一个随便手搓的例题
  $$\begin{array}{rl}& \underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\int }_0^{ln(1+\sin x)}{\sin }^{6}tdt}{x^7}\\ & \\ & =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\int }_0^x{\sin }^{6}tdt}{x^7}等价无穷小替换积分上限\\ & \\ & =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\int }_0^x{t}^{6}dt}{x^7}等价无穷小替换被积函数\\ & \\ & =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^7/7}{x^7}\\ & \\ & =1/7\end{array}$$
• 注：可以直接使用洛必达的法则验证正确性，虽麻烦点但是可以是实现的。

例题二

• 已知 $f(x)$ 连续且 $f(0)\ne 0$，求：
  $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\int }_0^{x}tf(t)dt}{x{\int }_0^{x}f(t)dt}$$
  (高数辅导讲义 P114 例 6 的题目的一部分)
• 解：
  $$\begin{array}{rl}I& \stackrel{(1)}{=}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\int }_0^{x}tf(0)dt}{x{\int }_0^{x}f(0)dt}\\ & \\ & =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(0)x^2/2}{f(0)x^2}\\ & \\ & =1/2\end{array}$$
• （1）部分：
  由于
  $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{f(0)}=1$$
  直接替换 $f(t)\sim f(0)$ 即可。

参考

1. 【变限积分中的等价无穷小替换】https://www.bilibili.com/video/av201524339/
2. 【关于变上限积分的等价无穷小】https://www.docin.com/p-1127320669.html
3. 【等价无穷大，变上限积分的等价无穷小】https://zhuanlan.zhihu.com/p/364305037?ivk_sa=1024320u