数学建模第一讲：层次分析法

数学建模第一讲：层次分析法

笔记大部分由观看【强烈推荐】清风：数学建模算法、编程和写作培训的视频课程整理出：
视频链接：https://www.bilibili.com/video/BV1DW411s7wi

前言：数学建模三大块

1. 建模 建模手
2. 编程 算法手
3. 写作 论文手

误区：每个人只需要掌握其中的一块就好！另外两块交给队友就好！

实际上：真正比赛的时候，三个队友的工作会有很大的重叠，比如：建模的同学要参与写作，而写作和编程的同学也要对模型有够深的了解。

因此：这三块一定要看成一个整体，每一块都是不可分割的，每一个部分都要学习！

层次分析法详解

(The analytic hierarchy process,简称AHP ) 是建模比赛中最基础的模型之一，主要用于解决：评价类问题（比如选择哪种方案最好，哪位运动员或员工表现更优秀）。

1. 评价类问题可用打分解决

例子：小明高考结束后应该选择哪所学校?

小明主要关心以下这四个方面：括号里的数据表示小明认为的重要性程度（权重），其和为1。

• 学校氛围（0.4）

• 就业前景（0.3）

• 男女比例（0.2）

• 校园景色（0.1）

小明查询数据后有以下的打分：

学校A	学校B
学习氛围 0.7	学习氛围 0.3
就业前景 0.5	就业前景 0.5
男女比例 0.3	男女比例 0.7
校园景色 0.25	校园景色 0.75
最后得分：0.7×0.4+0.5×0.3+0.3×0.2+0.25×0.1=0.515	最后得分：0.3×0.4+0.5×0.3+0.7×0.2+0.75×0.1=0.485

使用打分解决评价问题，只要补充以下的表格：

	指标权重	方案一	方案二	…
指标一
指标二
指标三
…

注意：要确保总指标权重和不同方案的同一指标权重和都为1。

2. 引出层次分析法的例题

填好志愿后，小明同学想要出去玩，在网上查阅了攻略后，他初步选择了苏杭，北戴河和桂林三地之一作为目标景点。请你确定评价指标、形成评价体系来为小明同学选择最佳的方案。

• 关键词：确定评价指标，形成评价体系来确定最佳方案！

• 解决评价类问题，我们应该首先想到以下三个问题：

  ①我们的评价目标是什么？

  答：为小明选择最佳的旅游景点。

  ②我们为了这个目标有哪几种可选的方案？

  答：三种，苏杭，北戴河和桂林。

  ③评价的准则或者说指标是什么？（我们根据什么东西来评价好坏？）

  答：题目没有给数据支撑，需要我们自己查阅相关资料。

1. 一般而言，前两个问题答案是很容易确定的，第三个问题的答案需要我们根据题目中的背景材料，常识以及网上收集到的参考资料进行结合，从中筛选出合适的指标！

2. 推荐：优先选择知网（或者万方，百度学术，谷歌学术等平台）搜索相关的文献：

3. 为什么优先在别人发表的论文中寻找指标？

   显得更加专业，别人研究使用的方法你也可以借鉴

4. 假如没有找到相关文献怎么办？

   和小组成员来场头脑风暴+在平台上搜索别人或者专家的看法呗！

5. 优先级：谷歌搜索（国内进不去就用百度搜索吧）

   ​ 微信搜索

   ​ 知乎搜索

   一个很厉害的网站：虫部落：https://www.chongbuluo.com/

假如查询资料后选择了以下五个指标：

①景点景色

②旅游花费

③居住环境

④饮食状况

⑤交通便利情况

我们应该怎样对小明提问才能帮他做合理的决定？

直接提问权重的弊端：这样得到的结果往往比较片面和不周全

在确定影响某因素的诸因子在该因素中所占的比重时，遇到的主要困难
是这些比重常常不易定量化。此外，当影响某因素的因子较多时，直接
考虑各因子对该因素有多大程度的影响时，常常会因考虑不周全、顾此
失彼而使决策者提出与他实际认为的重要性程度不相-致的数据，甚至
有可能提出一组隐含矛盾的数据。
--选自司守奎[kui]老师的《数学建模算法与应用教材》

3. 分而治之的思想

1. 分而治之

	指标权重	苏杭	北戴河	桂林
景色
花费
居住
饮食
交通

分而治之：先确定指标的权重！

问题:一次性考虑五个指标之间的关系，往往考虑不周。

解决方法：两个指标进行比较，最后根据两两比较的结果来退出权重。

2. 层次分析法思想登场

重要程度表：

根据问题填表：

十次回答后：

注：实际情况下没有小明帮我们回答，层次分析法中这张表是交给专家给我们填的！

总结：上面这个表示一个5×5的方阵，我们记为A，对应的元素为aij，

这个方针有以下特点：

(1)aij表示的意义是，与指标j相比，i的重要程度。

(2)当i = j时，两个指标相同，因此同等重要记为1，这就解释了主对角线元素为1

(3)aij>0且满足aij×aji=1(我们称满足这一条件的矩阵为正互反矩阵)

实际上,上面这个矩阵就是层次分析法中的判断矩阵

3. 填写判断矩阵:

针对花费,居住,饮食,交通用同样的方法进行填写!

一个有可能出现问题的地方:

一致矩阵:

景色	苏杭	北戴河	桂林
苏杭	1	2	4
北戴河	1/2	1	2
桂林	1/4	1/2	1

各行(各列)之间成倍数关系

定义:

4. 一致性的检验

1. 可以当做了解:
   

2. 判断矩阵越不一致时,最大特征值与n相差就越大.

3. 一致性检验的步骤

   ①计算一致性指标CI

   ​ n为方阵的阶数。

​ ②查找对应的平均随机一致性指标RI

​ ③计算一致性比例CR

如果CR<0.1,则可认为判断矩阵的一致性可以接受;否则需要对判断矩阵进行修正.

4. 两个小问题

4. 怎么计算权重

1. 一致矩阵

2. 判断矩阵

一. 算术平均法求权重

二.几何平均法求权重

三.特征值法求权重

5. 计算各方案的得分

用Excel表格计算减轻工作量

1. 将所有数据填进表格

2. 然后写出计算公式

3. 按F4键对指标权重进行锁定

层次分析法模型

1.构造层次图

分析系统中各因素之间的关系,建立系统的递阶层次结构.

注意:如果用到了层次分析法,那么这个层次结构图要放到建模论文中!

2.构造判断矩阵

对于同一层次的各元素关于上一层次中某一准则的重要性进行两两比较矩阵(判断矩阵)

3. 计算权重

由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重,并进行一致性检验(通过检验才能用).

三中方法计算权重:

(1)算术平均法

(2)几何平均法

(3)特征值法

建议大家在比赛中三种方法都使用

以往的论文利用层次分析法解决实际问题时，都是采用其中某-种方法
求权重，而不同的计算方法可能会导致结果有所偏差。为了保证结果的
稳健性，本文采用了三种方法分别求出了权重，再根据得到的权重矩阵
计算各方案的得分，并进行排序和综合分析，这样避免了采用单一-方法
所产生的偏差，得出的结论将更全面、更有效。

4. 合成权重

计算各层元素对系统目标的合成权重,并进行排序.

excel计算:

层次分析法的一些局限性

• 评价的决策层不能太多,太多的话n会很大,判断矩阵和致矩阵差异可能会很大

• 如果决策层中的指标数据是已知的,那么我们如何利用这些数据来使得评价的更加准确呢?

(这个就不能用层次分析法)