【一】欧式空间、欧式变换

1.基

首先,基的数学定义如下:

【一】欧式空间、欧式变换_第1张图片

先来看看线性相关:一个向量组里,只要有一个向量可以由其它向量线性表示,我们就称这个向量组线性相关。比如:

  • {a1, a2, a3} 线性相关,因为 a1+a3 = a2;
  • {a4, a5},{a4, a7}都线性相关

那么,线性无关:如果向量组里的任意一个向量都不能由其它向量线性表示,大家都是独一无二的存在。比如在二维平面上{a1, a3}线性无关,因为不共线

【一】欧式空间、欧式变换_第2张图片

为了方便计算或者表示空间中的向量,我们一般选择正交基(例如:直角坐标系)

2.欧拉角:

欧拉角有三种:

  • 俯仰:Pitch(绕y轴旋转)
  • 偏航:Yaw(绕z轴旋转)
  • 翻滚:Roll(绕x轴旋转)

常用的一种:偏航-俯仰-翻滚(yaw-pitch-roll)等价于ZYX轴旋转,向量表示为[r, p, y]

【一】欧式空间、欧式变换_第3张图片

欧拉角的一个重大缺陷是会碰到万向锁问题:在俯仰角为±90度时,第一次旋转与第三次旋转将使用同一个轴,使得系统丢失一个自由度。(万向锁问题) 

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3.旋转的表示方式: 

  • 旋转矩阵:绕坐标轴依次旋转
  • 旋转向量:绕任意轴一次直接旋转一个角度得到

3.1.旋转矩阵

首先,旋转矩阵是一个3×3正交矩阵,即R^TR=E,但是9个未知数,只有6个约束(对角约束相同),所以有3个自由度,当然可以类推,m阶矩阵共有m(m-1)/2个自由变量 。

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  我们先绕某一个轴进行旋转,例如:x轴,那么分为两种情况:顺时针旋转逆时针旋转,我们采用高中还是初中学的力的分解来求解旋转矩阵,将y轴z轴视为一种力,然后将其正交分解在新的坐标轴y'和z'  ,然后再进行力的合成可以得到如下的结果: 

  • 逆时针旋转  (旋转前:z,y,旋转后:z',y')                       

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  • 顺时针旋转(旋转前:z',y',旋转后:z,y) 

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3.2.姿态求解

  • 旋转z轴:旋转前坐标:(x0, y0, z0), 旋转后坐标:(x1, y1, z1)

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  • 旋转y轴:旋转前坐标:(x1, y1, z1), 旋转后坐标:(x2, y2, z2)

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  • 旋转x轴:旋转前坐标:(x2, y2, z2), 旋转后坐标:(x3, y3, z3)

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【一】欧式空间、欧式变换_第13张图片

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4.旋转向量

旋转矩阵表示的局限性

  1. SO(3)旋转矩阵有9个量,但自由度为3,因此表示方法有冗余,同理可得,变换矩阵16个量,但是自由度为6。
  2. 旋转矩阵带有约束,它必须为正交矩阵,且行列式为1,优化时困难。

在三维中,旋转可以通过单一的旋转角 θ和所围绕的单位向量方向 v=(x,y,z)来定义。对于旋转向量r,其方向与旋转轴一致,长度等于旋转角θ

旋转向量到旋转矩阵:

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旋转矩阵到旋转向量:

【一】欧式空间、欧式变换_第16张图片

#include 
#include 
#include 
#include 

// 1. Eigen 实现

    // 旋转向量转旋转矩阵
    Eigen::Vector3d rvec (r_x, r_y, r_z);     
    double n_norm = rvec.norm();
    Eigen::AngleAxisd rotation_vector (n_norm, rvec/n_norm);
    Eigen::Matrix3d rotm;
    rotm = rotation_vector.toRotationMatrix();

    // 旋转矩阵转旋转向量
    Eigen::Matrix3d rotation_matrix;
    rotation_matrix << x_00,x_01,x_02,x_10,x_11,x_12,x_20,x_21,x_22;
    Eigen::AngleAxisd rotation_vector;
    rotation_vector.fromRotationMatrix(rotation_matrix);
 
// 2. OpenCV 实现

    // 旋转向量转旋转矩阵
    cv::Mat rvec = (cv::Mat_(3,1) << r_x, r_y, r_z);
    cv::Mat rotm;
    cv::Rodrigues(rvec, rotm);

    // 旋转矩阵转旋转向量
    cv::Mat rvec;
    cv::Mat rotm = (cv::Mat_(3,3) << x_00,x_01,x_02,x_10,x_11,x_12,x_20,x_21,x_22);
    cv::Rodrigues(rotm, rvec);
  • 证明:罗德里格斯(Rodrigues)旋转方程推导
  • 罗德里格斯公式 理解、推导

参考:

  1. 机器人学之3D欧式变换理论与实践
  2. 三维空间的刚体运动
  3. 旋转矩阵
  4. 三维坐标系旋转——旋转矩阵到旋转角之间的换算
  5. 三维旋转矩阵推导
  6. 旋转矩阵(Rotation Matrix)的推导及其应用

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