前言：
- 高级数据结构（Ⅲ）线段树（Segment Tree）
- 线段树的原理
- 树的创建
- 单点修改
- 区间查找
- 完整代码及测试
高级数据结构（Ⅲ）线段树（Segment Tree）
线段树的原理
线段树是一种二叉搜索树 ， 对于线段树中的每一个非叶子结点[a,b]，它的左儿子表示的区间为[a, (a+b)/2]，右儿子表示的区间为[(a+b)/2+1, b]。因此线段树是平衡二叉树，最后的子节点数目为N，即整个线段区间的长度，其空间复杂度为O(n)。
若对于一个数组使用前缀和数组保存它的区间和，那么查找区间和时间复杂度为O(1)，而区间修改时间复杂度为O(n)。使用线段树可以快速查找或修改某个区间的值，时间复杂度为O(logN)。
线段树中每一个结点代表一个区间，对于区间【1， 7】线段树的结构如下图
实例：
class SegmentTree{
private static final int[] tree = new int[1000];
int[] arr;
SegmentTree() {
}
SegmentTree(int[] arr) {
this.arr = arr;
}
//创建树···
public void buildTree(){}
//单点修改更新树
public void updateTree(){}
//区间查找
public void queryTree(){}
}
树的创建
给定一个数组arr = [6, 4, 7, 5, 8, 3 , 9]，创建它对应的线段树数组。
对于一个结点k，它的左孩子为2 * k，右孩子为 2 * k + 1，此公式适用于根结点从1开始。但我们在数组中存储元素时下标通常是从0开始的，即根结点从0开始，此时它的左孩子为 2 * k + 1， 右孩子为 2 * k + 2。
如下图所示，数组arr的长度为7，由于树是以2为基数的，且线段树中叶子结点保存的是arr中单个结点的值，我们可以将数组arr的长度设想为8 （2 ^ 3 = 8，理解为新添了一个元素0，这对区间和并不影响），此时它对应的线段树就是一棵结点数为15（1 + 2 + 4 + 8）的满二叉树。相应的结点值，映射到数组tree的值在图中可清晰的看出。
那么，如何用处程序来创建一棵树呢？
由于线段树叶子结点都是数组arr中的某一元素，所以我们可以使用两个变量low和high来标记数组arr的区间，
- 若low == high，此时令tree[node] = arr[low]，并终止递归
- 否则，将区间二分，分别计算左区间[low, mid]和右区间[mid +1, high],并在最后更新tree[node]
实现：
//创建树
public void buildTree() {
this.buildTree(0, 0, arr.length - 1);
}
private void buildTree(int node, int low, int high) {
if(low == high) {
tree[node] = arr[low];
return;
}
int mid = low + (high - low) / 2;
int lnode = 2 * node + 1;
int rnode = 2 * node + 2;
buildTree(lnode, low, mid);
buildTree(rnode, mid + 1, high);
tree[node] = tree[lnode] + tree[rnode];
}
单点修改
若现在将arr[4]的值修改为1，需要怎样操作呢？
从下图绿色标出的结点不难看出其更新过程，先将其所对应的叶子结点修改，然后继续向上修改其父节点即可。
当long==high&&low==index时更新两个数组的值，否则，缩小区间，在相应的区间搜索，最后更新结点和即可，相应代码如下
//单点修改更新树
public void updateTree(int index, int val) {
this.updateTree(0, 0, arr.length - 1, index, val);
}
private void updateTree(int node, int low, int high, int index, int val) {
if(low == high && low == index) {
arr[index] = val;
tree[node] = val;
return;
}
int mid = low + (high - low) / 2;
int lnode = 2 * node + 1;
int rnode = 2 * node + 2;
if(index >= low && index <= mid) {
updateTree(lnode, low, mid, index, val);
}else {
updateTree(rnode, mid + 1, high, index, val);
}
tree[node] = tree[lnode] + tree[rnode];
}
区间查找
若现在查找数组arr区间和[3,6]，如何利用线段树呢？
在线段树中，我们将它的和划分为两个区间[3]和[4,6]，如图中的黄色结点
下面来看看相关代码如何实现，给定一个查找区间[L, R]，同样使用变量low和high维护对数组arr的二分查找边界
- 若当前区间low > R 或者 high < L，说明已超出查找范围，返回0
- 若[low, high]处于区间[L, R]内，返回当前结点的值tree[node]
然后继续在左右区间查找并保存左右区间的值sumLeft和sumRight，最后返回sumLeft + sumRight即可
//区间查找
public int queryTree(int L, int R) {
return this.queryTree(0, 0, arr.length - 1, L, R);
}
private int queryTree(int node, int low,
int high, int L, int R) {
if(low > R || high < L) {
return 0;
}else if(low >= L && high <= R) {
return tree[node];
}
int mid = low + (high - low) / 2;
int lnode = 2 * node + 1;
int rnode = 2 * node + 2;
int sumleft = queryTree(lnode, low, mid, L, R);
int sumRight = queryTree(rnode, mid + 1, high, L, R);
return sumleft + sumRight;
}
完整代码及测试
class SegmentTree{
private static final int[] tree = new int[1000];
int[] arr;
SegmentTree() {
}
SegmentTree(int[] arr) {
this.arr = arr;
}
//创建树
public void buildTree() {
this.buildTree(0, 0, arr.length - 1);
}
private void buildTree(int node, int low, int high) {
if(low == high) {
tree[node] = arr[low];
return;
}
int mid = low + (high - low) / 2;
int lnode = 2 * node + 1;
int rnode = 2 * node + 2;
buildTree(lnode, low, mid);
buildTree(rnode, mid + 1, high);
tree[node] = tree[lnode] + tree[rnode];
}
//单点修改更新树
public void updateTree(int index, int val) {
this.updateTree(0, 0, arr.length - 1, index, val);
}
private void updateTree(int node, int low, int high, int index, int val) {
if(low == high && low == index) {
arr[index] = val;
tree[node] = val;
return;
}
int mid = low + (high - low) / 2;
int lnode = 2 * node + 1;
int rnode = 2 * node + 2;
if(index >= low && index <= mid) {
updateTree(lnode, low, mid, index, val);
}else {
updateTree(rnode, mid + 1, high, index, val);
}
tree[node] = tree[lnode] + tree[rnode];
}
//区间查找
public int queryTree(int L, int R) {
return this.queryTree(0, 0, arr.length - 1, L, R);
}
private int queryTree(int node, int low, int high, int L, int R) {
if(low > R || high < L) {
return 0;
}else if(low >= L && high <= R) {
return tree[node];
}
int mid = low + (high - low) / 2;
int lnode = 2 * node + 1;
int rnode = 2 * node + 2;
int sumleft = queryTree(lnode, low, mid, L, R);
int sumRight = queryTree(rnode, mid + 1, high, L, R);
return sumleft + sumRight;
}
//输出线段树的值
public void printTree() {
int size = 15; //size值的大小由arr数组的大小而定
for (int i = 0; i < size; i++) {
System.out.print(tree[i] + " ");
}
System.out.println();
}
}
public class SegmentTreeTest {
public static void main(String[] args) {
int[] arr = {6, 4, 7, 5, 8, 3, 9};
SegmentTree st = new SegmentTree(arr);
//创建线段树
st.buildTree();
st.printTree();
//>>>42 22 20 10 12 11 9 6 4 7 5 8 3 0 0
//查找区间[3, 6]
int sum = st.queryTree(3, 6);
System.out.println(sum);
//>>>25
//单点修改更新树, 令arr[4] = 1
st.updateTree(4, 1);
st.printTree();
//>>>35 22 13 10 12 4 9 6 4 7 5 1 3 0 0
}
}
树结点版本：
此版本不使用数组保存，而是以结点来保存值，相应代码不难实现，如下：
import java.util.ArrayDeque;
import java.util.Deque;
class SegNode{
int val;
SegNode lnode;
SegNode rnode;
SegNode(){}
SegNode(int val) {
this.val = val;
}
}
class SegTree{
SegNode root;
int[] arr;
SegTree() {}
SegTree(int[] arr) {
this.arr = arr;
this.bulidTree();
}
//创建树
public void bulidTree() {
root = this.buildTree(0, arr.length - 1);
}
private SegNode buildTree(int low, int high) {
if(low == high) {
return new SegNode(arr[low]);
}
SegNode node = new SegNode();
int mid = low + (high - low) / 2;
node.lnode = buildTree(low, mid);
node.rnode = buildTree(mid + 1, high);
node.val = node.lnode.val + node.rnode.val;
return node;
}
//单点修改更新树
public void updateTree(int index, int val) {
root = updateTree(root ,0, arr.length - 1, index, val);
}
private SegNode updateTree(SegNode node, int low, int high, int index, int val) {
if(low == high && low == index) {
arr[index] = val;
node.val = val;
return node;
}
int mid = low + (high - low) / 2;
if(index >= low && index <= mid) {
node.lnode = updateTree(node.lnode, low, mid, index, val);
}else {
node.rnode = updateTree(node.rnode, mid + 1, high, index, val);
}
node.val = node.lnode.val + node.rnode.val;
return node;
}
//查找区间
public int queryTree(int L, int R) {
return queryTree(root, 0, arr.length - 1, L, R);
}
private int queryTree(SegNode node, int low, int high, int L ,int R) {
if(low > R || high < L) {
return 0;
}else if(low >= L && high <= R) {
return node.val;
}
int mid = low + (high - low) / 2;
int sumLeft = queryTree(node.lnode, low, mid, L, R);
int sumRight = queryTree(node.rnode, mid + 1, high, L, R);
return sumLeft + sumRight;
}
//输出树(层次遍历)
public void printTree() {
Deque queue = new ArrayDeque();
queue.offer(this.root);
while(!queue.isEmpty()) {
int size = queue.size();
for (int i = 0; i < size; i++) {
SegNode node = queue.poll();
System.out.print(node.val + " ");
if(node.lnode != null) queue.offer(node.lnode);
if(node.rnode != null) queue.offer(node.rnode);
}
}
}
}
public class SegmentTreeNodeTest {
public static void main(String[] args) {
int[] arr = {6, 4, 7, 5, 8, 3, 9};
//创建线段树
SegTree st = new SegTree(arr);
st.printTree();
System.out.println("");
//>>>42 22 20 10 12 11 9 6 4 7 5 8 3
//查找区间[3, 6]
int sum = st.queryTree(3, 6);
System.out.println(sum);
//>>>25
//单点修改更新树, 令arr[4] = 1
st.updateTree(4, 1);
st.printTree();
System.out.println("");
>>>35 22 13 10 12 4 9 6 4 7 5 1 3
}
}
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