小波分析用于阈值去噪

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前言

一、小波去噪概述

二、小波阈值去噪

介绍关于阈值去噪的方法

阈值的选取

优缺点

仅供参考

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前言

        在去噪领域中，小波理论由于其特殊的优点受到了许多学者的重视，他们应用小波进行去噪，并获得了非常好的效果。

一、小波去噪概述

        噪声可以理解为妨碍人的视觉器官或系统传感器对所接收信息进行理解或分析的各种
因素。一般噪声是不可预测的随机信号，它只能用概率统计的方法去认识。噪声主要在信
号的获取(量化)和传输中产生。
        声音信号和图像信号的输入、采集、处理的各个环节以及输出结果的全过程都不可避
免地会受到噪声的影响。固有噪声包括影像系统的结构噪声、光源噪声、模拟电路噪声、
光电转换和模数转换过程中产生的电器系统噪声等，它们都是以高斯分布的白噪声的形式
        一个含噪声的一 维信号模型可以表示为f (t)=s (t)+e(t)，其中，s (t)为原始信号，f (t)为含噪信号，e(t)为噪声。小波去噪模型的基本依据是：

        （1）信号和噪声的小波系数在不同尺度上有着不同的特征表现；

        （2）对于空间不连续函数，大部分行为集中在小波空间的一小部分子集内；

        （3）噪声污染了所有的小波系数，且贡献相同；

        （4）噪声的向量是高斯形式，它的正交变换也是高斯形式；

        我们可以将噪声看成一个普通信号，对它进行小波分析。如果它是一个平稳、零均值的白噪声，则它的小波系数是不相关的，而且高频系数的幅值随着分解层数的增加很快的衰减，同时高频系数的方差也很快的衰减；如果是一个高斯噪声，则其小波分解系数是独立的，也是高斯分布。

        当对噪声e进行小波分解时，它同样会产生高频系数，所以，一个含噪信号的高频系数分量是有用信号f和噪声信号e的高频系数叠加。Grossmann证明白噪声的方差和幅值随着小波变换的尺度增加会逐渐减小，而信号的方差和幅值与小波变换的尺度无关。

        根据白噪声和信号的不同小波变换特性，就可以对信号进行降噪处理。用小波进行信号的去噪可以很好的保存有用信号中的尖峰和突变部分，而去噪的关键就是对小波系数的量化处理。

        小波变换在时域和频城同时具有良好的局部化性质，不仅可将图像的结构和纹理分别表现在不同分辨率层次上，而且具有检测边沿(局域突变)的能力，因此，利用小波变换在去除噪声时，可提取并保存对视觉其主要作用的边沿信息。

        而传统的傅立叶变换去噪方法在去除唤声和边沿保持上存在着矛盾，原因是傅里叶变换方法在时域不能局部化，难以检测到局域突变信号，在去除噪声的同时，也损失了图像的边缘信息。

        由此可见，与傅立叶变换去噪方法相比，小波变换去噪方法具有明显的优越性。它的成果已被广泛应用于图像处理、语声人工合成、地震勘探、大气湍流、天体识别以及机器视觉等众多领域。具体说来，小波去噪的成功主要在于小波变换有以下特点：

        （1）低熵性：小波系数的系数分布使图像变换后的熵降低。

        （2）多分辨率特性：由于采用了多分辨率的方法，所以可以非常好的刻画信号的非平稳特征，如边缘、尖峰、断点等，可在不同分辨率下根据信号和噪声的分布特点进行去噪。

        （3）去相关性：因小波变化可对信号去相关性，且噪声在变换后有白化趋势，所以小波域比时域更利于去噪。

        （4）选基灵活性。由于小波变换可以灵活选择基，也可根据信号特点和去噪要求选择多带小波、小波包、平移不变小波等。

        小波分析是时频分析方法，具有良好的时频局部性，并且有快速算法（Mallat）加以实现。

二、小波阈值去噪

        噪声在的小波分解有以下特性：如果信号 n(t)  是一个平稳、零均值的白噪声，则其小波分解系数是不相关的；如果信号 n(t)  是一个高斯白噪声，则其小波分解系数是独立的，也是高斯分布的；如果信号 n(t)  是一个有色、平稳、零均值的高斯噪声序列，则其小波分解系数也是高斯序列。

        对每一尺度，其系数也是一个有限、平稳的序列。Donoho提出的小波阈值去噪方法是工程中应用最广泛的方法，其基本思想是：一个含噪声的一维信号模型可以表示为 f（t） =s (t) +n (t） 其中，s (t) 为原始信号，n (t）是方差为的高斯白噪声服从N（0，)。

        由于小波变换是线性变换，对f（t）作离散小波变换后得到的小波系数仍由两部分组成：一部分是信号对应的小波系数，另一部分是噪声对应的小波系数。基于有用信号和噪声在经小波变换后具有不同的统计特性：有用信号的能量对应着幅值较大的小波系数，噪声能量则对应着幅值较小的小波系数，并分散在小波变换后的所有系数中。

        一般来讲， 经过小波分解后，信号的系数要大于噪声的系数，于是可以找到一个合适的数λ作为阈值，当分解系数小于这个临界阈值时，认为这时的分解系数主要是由噪声引起的，予以舍弃；当分解系数大于这个临界阈值时，认为这时的分解系数主要是由信号引起的，就把这一部分直接保留下来(硬阈值方法)或者按照某一固定量向零收缩（软阈值方法），然后用得到的小波系数进行重构，即为去噪后的信号。

介绍关于阈值去噪的方法

        通常叠加性高斯白噪声是最常见的噪声模型，受到叠加性高斯白噪声“污染”的观测信号可以表示为：

 =  +          i=1,2,3,...,N

其中: 为含噪信号，为“纯净”采样信号，为独立同分布的高斯白噪声N (0,1) ，ε为噪声水平，信号长度为N。

        为了从含噪信号中还原出真实信号，可以利用信号和噪声在小波变换下的不同特性，通过对小波分解系数进行处理来达到信号和噪声分离的目的。

        在实际工程应用中，有用信号通常表现为低频信号或是一些比较平稳的信号，而声信号则通常表现为高频信号，所以我们可以先对含噪信号进行小波分解(如进行三层分解) :

S=cA1+cD1=cA2+cD2+cD1=cA3+cD3+cD2+cD1、

其中: cA：为分解的近似部分，cD：为分解的细节部分，i=1,2,3，则噪声部分通常含在cD1、cD2、cD3中，用门限阈值对小波系数进行处理，重构信号即可达到去噪的目的。总结去噪过程，可以分成以下3个步骤：

        （1）利用小波变换将实际自然图像变换为小波域；

        （2）对小波系数运用非线性收缩规则进行处理；

        （3）将阈值化处理后的小波系数进行小波反变换得到去噪图像；

        由此可以看出:这3个步骤中，第二步是小波收缩去噪的关键，即小波收缩去噪的关键是小波收缩阈值和小波函数的选取。

阈值的选取

         小波方法去噪分为小波分解、对分解后的高频系数进行阈值量化处理、信号的重构3个步骤。去噪效果的好坏取决于以下几个环节：

        小波基的选择；

        小波分解层数的确定；

        阈值函数及阈值估计方法的选取；

        其中最重要的环节是如何选取阈值函数和如何对阈值进行量化。由于噪声是一种随机的信号，其方差是未知的，实际去噪过程中必须首先对阈值进行估计，基于样本估计的阅值的选取，其原理为对信号做估计，确定一个统一的阅值，然后保留超出这个阈值的系数而截掉小于阈值的系数。 
        通常有4种可供选择的阅值估计方法，如下。

        （1）固定阅值（sqtwolog）：阈值, M为信号的长度。

        （2）基于史坦(Stein)的无偏似然估计原现(SURE) 的自适应阔值选择（rigrsure）：对一个给定的阈值 t，得到它的似然估计，再将非似然 t 最小化，就得到了所选的阈值。

        （3）启发式阀值(heursure)：是前两种阈值的综合，是最优预测变量阈值选择。

        （4）极大极小阙值(minimaxi)：采用的也是一种固定的阅值， 它产生一个最小均方误差的极值，而不是无误差。在统计学上，这种极值原理用于设计估计器。因为被去噪的信号可以看作与未知回归函数的估计式相似，这种极值估计器可以在一个给定的函数集中实现最大均方误差最小化。

        将高斯白噪声作为一种信号进行去噪实验发现，选用minimaxi和SURE阈值规则进行去噪，只将部分系数置0，保留了大约3%的系数；而选用sqtwolog和heursure规则进行去噪，所有的小波系数都被变为0，去噪比较完全。

        可见，minimaxi和SURE阈值规则比较保守，当含噪声信号的高频信息有很少一部分在噪声范围内时，这两种阈值非常有用，可以将微弱的信号提取出来；而sqtwolog和heursure规则去噪比较完全，在去噪时显得更为有效，但是很容易把有用的高频信号误认为噪声而去除掉。

        从整体和局部的关系上又分为全局阈值去噪与分层阈值去噪两种方式。阈值全局处理就是对各级小波分解得到的高频系数采用同一阈值进行滤波， 而阀值分层处理则对小波分解的每一层基于一个阈值进行滤波。从理论上分析，分层阈值根据各层系数的特征进行阈值选取，更能灵活处理含噪信号中的噪声。

        信噪比(SNR)和最小均方误差(MSE)是判断去噪效果的依据。为了得到最好的去噪效果，不但要选择合适的小波函数，还要确定最佳的分解层数并选取合适的阈值。对某一信噪比的含噪声信号，我们分别改变所取的小波函数、分解层数和阈值取法，通过大量的对比仿真实验找到最好的去噪方法。然后再对不同信噪比的含噪声信号进行去噪，进一步改进去噪方法，使去噪方法具有通用性。

优缺点

        Donoho的软、硬阈值去噪方法在实际中得到广泛的应用，而且也取得了较好的效果。
但是硬阈值函数在λ处是不连续的，这种不连续性导致重构信号容易出现伪吉布斯现象，出现许多不期望的震荡，失去原始信号的光滑性；而软阙值函数虽然整体连续性好，但估计值与实际值之间总存在恒定的偏差，并且软阈值函数的导数不连续，具有一定的局限性。神经网络去噪的方法由于需要很多次迭代，计算过程比其他方法都要复杂，应用起来比较困难。

        在工程中最常用的去噪方法是阈值去噪法，阈值法的原始信号的恢复效果主要依赖于阈值的选取，如果阈值选取过大，就会消去信号的部分信息；阈值选取过小则会保留过多的噪声。

仅供参考

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