手撕 BiLSTM-CRF

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网上关于BiLSTM-CRF的资料可谓汗牛充栋；但是扎扎实实给出每一步推导(不跳跃)，并结合每一行代码(包括每处张量运算的注释)的文章，至今未见

所以，关于【BiLSTM-CRF的推导和代码部分】你看到的可能是迄今为止最扎实的一个版本

注：我假设你已经熟悉了BiLSTM和CRF的基本原理; 否则，请先【大致浏览】以下材料

CRF: http://homepages.inf.ed.ac.uk/csutton/publications/crftut-fnt.pdf
LSTM: https://colah.github.io/posts/2015-08-Understanding-LSTMs/
BiLSTM-CRF原文: https://arxiv.org/pdf/1508.01991v1.pdf

零、Introduction

本文要介绍的是NLP序列标注领域近年来最经典的文章，百度研究院出品的《Bidirectional LSTM-CRF Models for Sequence Tagging》

本文专注于"手撕"这个模型的【代码和推导细节】，所有背景知识一概省略

一、路线图

Talk is cheap, 直接看代码
链接: https://gist.github.com/koyo922/9300e5afbec83cbb63ad104d6a224cf4

简化解构如下, 我会大致按照执行顺序来讲解:

• 1 从__main__入手；了解主流程，即构造训练数据集和模型对象

• 2 模型训练
  其中涉及求loss neg_log_likelihood()
  CRF的分子_score_sentence();
  CRF的分母_forward_alg(); 顺便介绍用到的log_sum_exp()

• 3 模型推断, 就是前向运算 forward()
  其中涉及维特比解码_viterbi_decode()

def log_sum_exp(smat): # 模型中经常用到的一种路径运算的实现
    ...

class BiLSTM_CRF(nn.Module):
    def neg_log_likelihood(self, words, tags):  # 求负对数似然，作为loss
        ...

    def _score_sentence(self, frames, tags): # 求路径pair: frames->tags 的分值
        ...

    def _forward_alg(self, frames): # 求CRF中的分母"Z", 用于loss
        ...

    def _viterbi_decode(self, frames): # 求最优路径分值 和 最优路径
        ...

    def forward(self, words):  # 模型inference逻辑
        ...

if __name__ == "__main__":
    training_data = [...] # 准备好训练数据和模型
    model = BiLSTM_CRF(...)
    ...

    optimizer = optim.SGD(model.parameters(), lr=0.01, weight_decay=1e-4)
    for epoch in range(300): # 训练300个epoch
        for words, tags in training_data:
            model.zero_grad()
            model.neg_log_likelihood(words, tags).backward()
            optimizer.step()

    # 观察训练后的inference结果
    with torch.no_grad(): print(model(training_data[0][0]))

二、参数估计(Parameter Estimation)

沿着执行顺序看，__main__下面的主流程就是构造训练数据集和模型对象，然后训练，然后推断；不多说。

看训练逻辑
https://gist.github.com/koyo922/9300e5afbec83cbb63ad104d6a224cf4#file-bilstm_crf-py-L78-L83

def neg_log_likelihood(self, words, tags):  # 求一对  在当前参数下的负对数似然，作为loss
    frames = self._get_lstm_features(words)  # emission score at each frame
    gold_score = self._score_sentence(frames, tags)  # 正确路径的分数
    forward_score = self._forward_alg(frames)  # 所有路径的分数和
    # -(正确路径的分数 - 所有路径的分数和）;注意取负号 -log(a/b) = -[log(a) - log(b)] = log(b) - log(a)
    return forward_score - gold_score

• 首先使用LSTM求出了每一帧对应到每种tag的"发射【分值】矩阵" frames(注意不是【概率】！！！ ,这里加起来和不为1；注意CRF跟HMM/MEMM的区别)

• 然后，基于frames和当前的CRF层参数，可以求出指定隐状态路径tags对应的分值gold_score
  然后，不限定隐状态路径，求出所有路径对应分值之和 forward_score

• 最后，根据CRF模型定义，两者相减即可

2.1 CRF的分子对数 _score_sentence()

上述$log(\Psi (tags,words))$可通过函数 _score_sentence()求解

根据CRF模型定义，推导如下:

对应代码

def _score_sentence(self, frames, tags):
    tags_tensor = self._to_tensor([START_TAG] + tags, self.tag2ix)
    score = torch.zeros(1)
    for i, frame in enumerate(frames):  # 沿途累加每一帧的转移和发射
        score += self.transitions[tags_tensor[i], tags_tensor[i + 1]] + frame[tags_tensor[i + 1]]
    return score + self.transitions[tags_tensor[-1], self.tag2ix[END_TAG]]  # 加上到END_TAG的转移

※ 注意到上述推导过程中，我在 $\Sigma$ 外面套了一层中括号。
这是为了避免歧义. 例如: $$\sum _{i=1}^{3}ai+c$$到底是指 $a1+a2+a3+c$ 还是 $(a1+c)+(a2+c)+(a3+c)$呢?

这里字母 $c$ 不含下标，通常按照前一种方式理解即可。
符号简单的时候，还勉强能看出来；如果复杂一点呢？
相信很多同学都有 类似的被晦涩而充满歧义的数学表达坑过的惨痛经历。

古文是没有断句的，要靠读者的经验来消歧；古人不以糊涂草率为耻，反而将这种所谓“技能”美其名曰“句读”。 e.g. 子曰“民可使由之不可使知之”。断成“民可使由之，不可使知之” v.s. “民可使，由之；不可使，知之”；截然相反的歧义。

如果把代码比作“白话文”，则数学公式表达类似于“文言文”，而且是还没断句的那种。
呼吁大家：从我做起，尽力改善数学表达的可读性

期望能早日看到这个领域的 “胡适、鲁迅、陈独秀、蔡元培”们站出来改善这一局面； 目前我能想到的有以下几个方向，抛砖引玉，欢迎讨论补充:

• 主动消歧:
  

• 变量复用:
  

• 合理命名:

• 尽量使用大家习惯的符号，避免滥用 $n,a,b,i,j,...$ 之类的无意义变量

• 尽量使用容易猜到含义的首字母或者希腊字母作为变量名 e.g. $I->Initial,T->Transition,E->Emission,L->Length,△->Diffenrence$

• 必要时，使用 多字母的变量名(e.g. “head/tail”), 甚至导入辅助概念(第一枚硬币的颜色 “red/black”) 也是可以的
  

• 充分注解:

2.2 CRF的分母 _forward_alg()

分母对数 = $log[{\sum }_{t\in AllPath}exp(\Psi (t,words))]$

这里有个困难 $t\in AllPath$ 难以穷举。e.g. 设 len(tags)=5且len(words)=10，则 t 的取值空间是 $5^{10}$ 。
换个思路，不再按照 $t$ 求和，而是改为 沿着时间轴做DP

思考一下递推关系:

• 穷举所有长度为L-1的path, 其集合记作 $P^{L-1}$
  定义 ${\alpha }_{i,j}=log[{\sum }_{y\in P^{i-1}}exp(\Psi (w_{1-i},y_{1-i-1},y_i=j))]$ ，即"i时刻到状态j"的所有路径分数的log_sum_exp

• 则有
  

至此，我们将待求的"分母对数"化成了 关于 $\alpha$ 向量的log_sum_exp形式；只要能DP求出$\alpha$向量，问题就得到了解决。$\alpha$的递推关系如下

根据上述推导，观察【单个状态】 ${\alpha }_{i-1,j^{\prime }}->{\alpha }_{i,j}$ 的递推过程:

已知: ${\alpha }_{i-1,j^{\prime }}$ $\forall j^{\prime }->AllTags$
要求: ${\alpha }_{i,j}$
做法: 加上 $j^{\prime }->j$ 的状态转移分 和 $j^{\prime }->w_i$ 的发射分；
即 ${\alpha }_{i,j}=log[{\sum }_{j^{\prime }}exp({\alpha }_{i-1,j^{\prime }}+j_{j^{\prime },j}+E_{j,w_i})]$
将上述【单个状态】的推导加以概括，得到【矩阵化】写法; 以1 -> 2时刻为例

对应代码

def _forward_alg(self, frames):
    """ 给定每一帧的发射分值; 按照当前的CRF层参数算出所有可能序列的分值和，用作概率归一化分母 """
    alpha = torch.full((1, self.n_tags), -10000.0)
    alpha[0][self.tag2ix[START_TAG]] = 0  # 初始化分值分布. START_TAG是log(1)=0, 其他都是很小的值 "-10000"
    for frame in frames:
        # log_sum_exp()内三者相加会广播: 当前各状态的分值分布(列向量) + 发射分值(行向量) + 转移矩阵(方形矩阵)
        # 相加所得矩阵的物理意义见log_sum_exp()函数的注释; 然后按列求log_sum_exp得到行向量
        alpha = log_sum_exp(alpha.T + frame.unsqueeze(0) + self.transitions)
    # 最后转到EOS，发射分值为0，转移分值为列向量 self.transitions[:, [self.tag2ix[END_TAG]]]
    return log_sum_exp(alpha.T + 0 + self.transitions[:, [self.tag2ix[END_TAG]]]).flatten()

def log_sum_exp(smat):
    """
    参数: smat 是 "status matrix", DP状态矩阵; 其中 smat[i][j] 表示 上一帧为i状态且当前帧为j状态的分值
    作用: 针对输入的【二维数组的每一列】, 各元素分别取exp之后求和再取log; 物理意义: 当前帧到达每个状态的分值(综合所有来源)
    例如: smat = [[ 1  3  9]
                 [ 2  9  1]
                 [ 3  4  7]]
         其中 smat[:, 2]= [9,1,7] 表示当前帧到达状态"2"有三种可能的来源, 分别来自上一帧的状态0,1,2
         这三条路径的分值求和按照log_sum_exp法则，展开 log_sum_exp(9,1,7) = log(exp(9) + exp(1) + exp(7)) = 3.964
         所以，综合考虑所有可能的来源路径，【当前帧到达状态"2"的总分值】为 3.964
         前两列类似处理，得到一个行向量作为结果返回 [ [?, ?, 3.964] ]

    注意数值稳定性技巧 e.g. 假设某一列中有个很大的数
    输入的一列 = [1, 999, 4]
    输出     = log(exp(1) + exp(999) + exp(4)) # 【直接计算会遭遇 exp(999) = INF 上溢问题】
            = log(exp(1-999)*exp(999) + exp(999-999)*exp(999) + exp(4-999)*exp(999)) # 每个元素先乘后除 exp(999)
            = log([exp(1-999) + exp(999-999) + exp(4-999)] * exp(999)) # 提取公因式 exp(999)
            = log([exp(1-999) + exp(999-999) + exp(4-999)]) + log(exp(999)) # log乘法拆解成加法
            = log([exp(1-999) + exp(999-999) + exp(4-999)]) + 999 # 此处exp(?)内部都是非正数，不会发生上溢
            = log([exp(smat[0]-vmax) + exp(smat[1]-vmax) + exp(smat[2]-vmax)]) + vmax # 符号化表达

    代码只有两行，但是涉及二维张量的变形有点晦涩，逐步分析如下, 例如:
    smat = [[ 1  3  9]
            [ 2  9  1]
            [ 3  4  7]]
    smat.max(dim=0, keepdim=True) 是指【找到各列的max】，即: vmax = [[ 3  9  9]] 是个行向量
    然后 smat-vmax, 两者形状分别是 (3,3) 和 (1,3), 相减会广播(vmax广播复制为3*3矩阵)，得到:
    smat - vmax = [[ -2  -6  0 ]
                   [ -1  0   -8]
                   [ 0   -5  -2]]
    然后.exp()是逐元素求指数
    然后.sum(axis=0, keepdim=True) 是"sum over axis 0"，即【逐列求和】, 得到的是行向量，shape=(1,3)
    然后.log()是逐元素求对数
    最后再加上 vmax; 两个行向量相加, 结果还是个行向量
    """
    vmax = smat.max(dim=0, keepdim=True).values  # 每一列的最大数
    return (smat - vmax).exp().sum(axis=0, keepdim=True).log() + vmax

三、推断(Inference)

推断逻辑很直观，就是过一遍LSTM拿到每一帧的发射状态分布；然后跑viterbi解码得出最优路径和分值。

def forward(self, words):  # 模型inference逻辑
    lstm_feats = self._get_lstm_features(words)  # 求出每一帧的发射矩阵
    return self._viterbi_decode(lstm_feats)  # 采用已经训好的CRF层, 做维特比解码, 得到最优路径及其分数

3.1 维特比解码 _viterbi_decode()

我假设你熟悉CRF算法；所以viterbi本身不用介绍了。 说一下跟前向求CRF分母对数时的小小区别：这里除了要迭代更新 $\alpha$ 以外，还要追踪每一帧的每个状态的最优“上一步”来自于哪里。因此，可以看到第9行的log_sum_exp()上方的第8行还记下了argmax

def _viterbi_decode(self, frames):
        backtrace = []  # 回溯路径;  backtrace[i][j] := 第i帧到达j状态的所有路径中, 得分最高的那条在i-1帧是神马状态
        alpha = torch.full((1, self.n_tags), -10000.)
        alpha[0][self.tag2ix[START_TAG]] = 0
        for frame in frames:
            # 这里跟 _forward_alg()稍有不同: 需要求最优路径（而非一个总体分值）, 所以还要对smat求column_max
            smat = alpha.T + frame.unsqueeze(0) + self.transitions
            backtrace.append(smat.argmax(0))  # 当前帧每个状态的最优"来源"
            alpha = log_sum_exp(smat)  # 转移规律跟 _forward_alg()一样; 只不过转移之前拿smat求了一下回溯路径

        # 回溯路径
        smat = alpha.T + 0 + self.transitions[:, [self.tag2ix[END_TAG]]]
        best_tag_id = smat.flatten().argmax().item()
        best_path = [best_tag_id]
        for bptrs_t in reversed(backtrace[1:]):  # 从[1:]开始，去掉开头的 START_TAG
            best_tag_id = bptrs_t[best_tag_id].item()
            best_path.append(best_tag_id)
        return log_sum_exp(smat).item(), best_path[::-1]  # 返回最优路径分值 和 最优路径

四、总结

本文给出了 BiLSTM-CRF用作序列标注算法的 详细推导步骤，并在PyTorch官方教程的基础上 修改成了矩阵化写法；同时，给出了一份注释详尽的教学代码。
单步调试跟一遍，相信你会有不小收获。

happy coding, 祝好运！

参考文献

BiLSTM-CRF原文: https://arxiv.org/pdf/1508.01991v1.pdf
PyTorch官方教学代码: https://pytorch.org/tutorials/beginner/nlp/advanced_tutorial.html
矩阵化推导: https://zhuanlan.zhihu.com/p/44042528