一文读懂异常检测 LOF 算法（Python代码）

大家好，我是东哥。

本篇介绍一个经典的异常检测算法：局部离群因子(Local Outlier Factor)，简称LOF算法。

一、背景

Local Outlier Factor（LOF）是基于密度的经典算法（Breuning et. al. 2000）, 文章发表于 SIGMOD 2000, 到目前已经有 3000+ 的引用。

在 LOF 之前的异常检测算法大多是基于统计方法的，或者是借用了一些聚类算法用于异常点的识别（比如 ，DBSCAN，OPTICS）。这些方法都有一些不完美的地方：

• 基于统计的方法：通常需要假设数据服从特定的概率分布，这个假设往往是不成立的。
• 聚类方法：通常只能给出 0/1 的判断（即：是不是异常点），不能量化每个数据点的异常程度。

相比较而言，基于密度的LOF算法要更简单、直观。它不需要对数据的分布做太多要求，还能量化每个数据点的异常程度（outlierness）。

下面开始正式介绍LOF算法。

二、LOF 算法

首先，基于密度的离群点检测方法有一个基本假设：非离群点对象周围的密度与其邻域周围的密度类似，而离群点对象周围的密度显著不同于其邻域周围的密度。

什么意思呢？看下面图片感受下。

集群 C1 包含了 400 多个点，集群 C2 包含 100 个点。C1 和 C2 都是一类集群点，区别是 C1 位置比较集中，或者说密度比较大。而像 o1、o2点均为异常点，因为基于我们的假设，这两个点周围的密度显著不同于周围点的密度。

LOF 就是基于密度来判断异常点的，通过给每个数据点都分配一个依赖于邻域密度的离群因子 LOF，进而判断该数据点是否为离群点。 如果 $LOF>=1$，则该点为离群点，如果 $LOF\approx 1$，则该点为正常数据点。

那么什么是LOF呢？

了解LOF前，必须先知道一下3个基本概念，因为LOF是基于这几个概念而来的。

1. k邻近距离

在距离数据点 $P$ 最近的几个点中，第 $k$ 个最近的点跟点 $P$ 之间的距离称为点 $P$ 的 K-邻近距离，记为 k-distance §，公式如下：

$$d_k(P)=d(P,O)$$

点 $O$ 为距离点 $P$ 最近的第 $k$ 个点。

比如上图中，距离点 $p$ 最近的第 $4$ 个点是点 $6$。

这里的距离计算可以采用欧式距离、汉明距离、马氏距离等等。比如用欧式距离的计算公式如下：

$$d_{Euclid}(X_i,X_j)=\sqrt{\sum _{k=1}^m(X_{ik}-X_{jk}{)}^2}$$

这里的重点是找到第 $k$ 个最近的那个点，然后带公式计算距离。

2. k距离领域

以点 $P$ 为圆心，以k邻近距离 $d_k(P)$ 为半径画圆，这个圆以内的范围就是k距离领域，公式如下：

$$N_k(P)=\{d(P,O^{\prime })\le d_k(P)\}$$

还是上图所示，假设k=4，那么点 1-6 均是邻域范围内的点。

3. 可达距离

这个可达距离大家需要留意点，点 $P$ 到点 $O$ 的第 $k$ 可达距离：

$$reach\_dis{t}_k(O,P)=max\{d_k(O),d(O,P)\}$$

这里计算$P$ 到点 $O$ 的第 $k$ 可达距离，但是要以点 $O$ 为中心，取一个最大值，也就是在点 $P$ 与 $O$ 的距离、距离点 $O$ 最近的第 $k$ 个点距离中取较大的一个，如图下所示。

$p2$ 距离 $o$ 远，那么两者之间的可达距离就是它们的实际距离。如果距离足够近，如点 $p1$，实际距离将被 $o$ 的 $k$ 距离代替。所有 $p$ 接近 $o$ 的统计波动 $d(p,o)$可以显著减少，这可以通过参数 $k$ 来控制，$k$ 值越高，同一邻域内的点的可达距离越相似。

4. 局部可达密度

先给出公式。

$$lr{d}_k(P)=\frac{1}{\frac{{\sum }_{O\ni N_k(P)}reach\_dis{t}_k(P,O)}{|N_k(P)|}}$$

数据点 $P$ 的局部可达密度就是基于 $P$ 的最近邻的平均可达距离的倒数。距离越大，密度越小。

5. 局部异常因子

根据局部可达密度的定义，如果一个数据点跟其他点比较疏远的话，那么显然它的局部可达密度就小。但LOF算法衡量一个数据点的异常程度，并不是看它的绝对局部密度，而是看它跟周围邻近的数据点的相对密度。

这样做的好处是可以允许数据分布不均匀、密度不同的情况。局部异常因子即是用局部相对密度来定义的。数据点 $p$ 的局部相对密度（局部异常因子）为点 $p$ 邻域内点的平均局部可达密度跟数据点 $p$ 的局部可达密度的比值，即：

$$LO{F}_k(P)=\frac{{\sum }_{O\ni N_k(P)}\frac{lrd(O)}{lrd(P)}}{\left|N_k(P)\right|}=\frac{{\sum }_{O\ni N_k(P)}lrd(O)}{\left|N_k(P)\right|}/lrd(P)$$

三、LOF算法流程

了解了 LOF 的定义以后，整个算法也就显而易见了：

1. 对于每个数据点，计算它与其它所有点的距离，并按从近到远排序；

2. 对于每个数据点，找到它的 k-nearest-neighbor，计算 LOF 得分;

3. 如果LOF值越大，说明越异常，反之如果越小，说明越趋于正常。

四、LOF优缺点

优点

LOF 的一个优点是它同时考虑了数据集的局部和全局属性。异常值不是按绝对值确定的，而是相对于它们的邻域点密度确定的。当数据集中存在不同密度的不同集群时，LOF表现良好，比较适用于中等高维的数据集。

缺点

LOF算法中关于局部可达密度的定义其实暗含了一个假设，即：不存在大于等于 k 个重复的点。

当这样的重复点存在的时候，这些点的平均可达距离为零，局部可达密度就变为无穷大，会给计算带来一些麻烦。在实际应用时，为了避免这样的情况出现，可以把 k-distance 改为 k-distinct-distance，不考虑重复的情况。或者，还可以考虑给可达距离都加一个很小的值，避免可达距离等于零。

另外，LOF 算法需要计算数据点两两之间的距离，造成整个算法时间复杂度为 $O(n^2)$ 。为了提高算法效率，后续有算法尝试改进。FastLOF （Goldstein，2012）先将整个数据随机的分成多个子集，然后在每个子集里计算 LOF 值。对于那些 LOF 异常得分小于等于 1 的，从数据集里剔除，剩下的在下一轮寻找更合适的 nearest-neighbor，并更新 LOF 值。

五、Python 实现 LOF

有两个库可以计算LOF，分别是PyOD和Sklearn，下面分别介绍。

使用pyod自带的方法生成200个训练样本和100个测试样本的数据集。正态样本由多元高斯分布生成，异常样本是使用均匀分布生成的。

训练和测试数据集都有 5 个特征，10% 的行被标记为异常。并且在数据中添加了一些随机噪声，让完美分离正常点和异常点变得稍微困难一些。

from pyod.utils.data import generate_data
import numpy as np
X_train, y_train, X_test, y_test = \
        generate_data(n_train=200,
                      n_test=100,
                      n_features=5,
                      contamination=0.1,
                      random_state=3) 
X_train = X_train * np.random.uniform(0, 1, size=X_train.shape)
X_test = X_test * np.random.uniform(0,1, size=X_test.shape)

PyOD

下面将训练数据拟合了 LOF 模型并将其应用于合成测试数据。

在 PyOD 中，有两个关键方法：decision_function 和 predict。

• decision_function：返回每一行的异常分数
• predict：返回一个由 0 和 1 组成的数组，指示每一行被预测为正常 (0) 还是异常值 (1)

from pyod.models.lof import LOF
clf_name = 'LOF'
clf = LOF()
clf.fit(X_train)

test_scores = clf.decision_function(X_test)

roc = round(roc_auc_score(y_test, test_scores), ndigits=4)
prn = round(precision_n_scores(y_test, test_scores), ndigits=4)

print(f'{clf_name} ROC:{roc}, precision @ rank n:{prn}')
>> LOF ROC:0.9656, precision @ rank n:0.8

可以通过 LOF 模型方法查看 LOF 分数的分布。在下图中看到正常数据（蓝色）的分数聚集在 1.0 左右。离群数据点（橙色）的得分均大于 1.0，一般高于正常数据。

Sklearn

在scikit-learn中实现 LOF 进行异常检测时，有两种模式选择：异常检测模式 (novelty=False) 和 novelty检测模式 (novelty=True)。

在异常检测模式下，只有fit_predict生成离群点预测的方法可用。可以使用negative_outlier_factor_属性检索训练数据的异常值分数，但无法为未见过的数据生成分数。模型会根据contamination参数（默认值为 0.1）自动选择异常值的阈值。

import matplotlib.pyplot as plt

detector = LOF()
scores = detector.fit(X_train).decision_function(X_test)

sns.distplot(scores[y_test==0], label="inlier scores")
sns.distplot(scores[y_test==1], label="outlier scores").set_title("Distribution of Outlier Scores from LOF Detector")
plt.legend()
plt.xlabel("Outlier score")

在novelty检测模式下，只有decision_function用于生成异常值可用。fit_predict方法不可用，但predict方法可用于生成异常值预测。

clf = LocalOutlierFactor(novelty=True)
clf = clf.fit(X_train)
test_scores = clf.decision_function(X_test)

test_scores = -1*test_scores

roc = round(roc_auc_score(y_test, test_scores), ndigits=4)
prn = round(precision_n_scores(y_test, test_scores), ndigits=4)

print(f'{clf_name} ROC:{roc}, precision @ rank n:{prn}')

该模式下模型的异常值分数被反转，异常值的分数低于正常值。

实战系列的全部完整代码可见：https://github.com/xiaoyusmd/PythonDataScience

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这里也分享一下 LOF算法的paper论文，地址：https://www.dbs.ifi.lmu.de/Publikationen/Papers/LOF.pdf

或者微信搜一搜「数据挖掘工程师」，关注后回复：LOF，即可获取。

参考：
https://pub.towardsai.net/an-in-depth-guide-to-local-outlier-factor-lof-for-outlier-detection-in-python-5a6f128e5871
https://zhuanlan.zhihu.com/p/28178476
https://mp.weixin.qq.com/s/SHYNjtqCo-Ue3lezdVk1jA
https://www.cnblogs.com/xzydn/p/14408758.html