详解 Hough 变换（上）基本原理与直线检测

Hough 变换原理与应用

前言： 详细介绍了 Hough 变换的基本思想、基本原理和应用等。其中大多都是自己的理解，难免有偏差，仅供参考。

1. 基本概述

1.1 一些基本问题

Hough 变换简单概括就是原空间到参数空间的变换。

以一条直线为例，常用直线方程为 $y=kx+b$​​ ，这个是原空间。在这个直线方程里，x 和 y 是变量，k和b为直线方程参数。注意参数不是固定的，数量也不是固定的，比如这个直线不一定非要用 k,b （斜率和截距）这两个参数，下面会有举例说明。

何为到参数空间的变换呢？

直接了当地说就是，把参数当作变量（即坐标轴）。上面直线例子而言，就是把 k,b 当作横纵坐标构建的空间。注意，这一变换并非坐标系的变换（如：不是笛卡尔坐标向极坐标的变换；两者本质就不一样），Hough变换是始终以笛卡尔坐标系为基础，只是换了坐标轴（新空间中，坐标轴换成了原空间表达式中的参数，也是因此新空间叫参数空间。）

为何要变换到参数空间呢？

原空间中一些事物具有很强的关联性，但在原空间不好观察和把握，因此考虑从别的视角来表述它们关联性。参数空间就是一种，还有类似的傅里叶变换等等。所以，可以说，我们变换此空间，是为了更直观地揪出原坐标系下一系列点间的共同特点（或者说联系）。至于为什么选择参数空间，别问，问就是第一个想出这点的数学家的智慧和创新。并且，”很巧”的是，它在处理一些问题上确实很管用。

既然说参数选择不是固定的，如何选择最佳参数来构成参数空间？

这个不用操心，针对一些特定任务和问题，前人已经给出了答案了。

1.2 以例子说明

下面以三个例子说明上述自己理解得出的重点。

1.2.1 例子1：直线 $y=kx+b$​​​​​​​ 到参数空间的变换（k，b为定值，如k=2，b=4）

事实上，使用这样例子并不好，容易给人带来误解，但又不得不从该例子说起。之所以说容易带来误解，原因在于：

我们遇到的问题，往往都是考察原坐标系下所给出的一系列点的关系问题。即基于点，去将这些点变换到参数空间；这个例子的表述，恰恰与此过程相反，该例子表述是已知结果（这些点是在一条直线上），去说明参数变换这回事。

两个是因果倒置的问题。这么说有些难以理解，下面例子会说明上面两句话要表达的含义。

我们考察直线到其参数空间的变换，这里参数就选择 k,b，变换如下图(a)(b)所示。

我们这样表述：左侧原空间下，对于直线 $y=kx+b$​ ，将 $k,b$​ 当作坐标轴的话，得到右侧参数空间，**该直线就对应于右侧空间一点 $(k,b)$​ ** 。这样表述有些别扭，因为常规上，我们都是把问题落脚在点上，毕竟计算机存储和处理的都是离散点数据。

因此修改说： 左侧原空间下，直线 $y=kx+b$​ 上的点 对应 右侧参数空间中一点$(k,b)$​​，如图©到(b)所示。 但这样说的话，同样别扭，因为这句话是错的。

Hough 变换不是常规的映射，不是点对点的对应关系，不是函数式的 f(x)。这点也可以说明它跟坐标系间变换有本质区别。

左侧原空间上的任意一点如 $(x_0,y_0)$​，对应到右侧，不会是一个点，事实上是一条线。因为右侧表示的是直线的斜率和截距，而经过点 $(x_0,y_0)$​ 的直线有无数条，也就对应着无数的 k 和 b。那是否意味着左侧这 $(x_0,y_0)$ 点，对应到右侧，就是充满坐标轴的所有点？当然不是，因为 k,b 虽然是随机的，取值可以 $[-\infty ,\infty ]$​，但它俩不是各自随机，两者是有关系的。因为我们前面前提是经过 $(x_0,y_0)$ 点的直线，即
$$y=k(x-x_0)+y_0$$
说明：用这个 y = kx + b 这个式子不好，因为后面例子都是把 x、y 放到一侧，两者式子下，过点限制条件是由差别的。使用 $y-kx=b$或$y-kx-b=0$ 理解更好，这样的话，限制条件就是
$$y-kx=y_0-k{x}_0或y-kx-b=y_0-k{x}_0-b$$
也即
$$y-kx=(y_0-kx)$$
这里会衍生出一个问题，即好像一个参数 k 就可以确定这一直线了。到这节最后会说到这个问题。先忽略之，或自己加以理解。

依据上式，也就是以 k， $y_0-k{x}_0$​​​ 为参数，即 k 当横轴，$y_0-k{x}_0$​​ 当纵轴，或者写为我们更常见的
$$b=-k{x}_0+y_0$$
其中，b为纵轴，k为横轴。整个过程如下图(a)(b)所示

反过来，参数空间一点，就对应于原空间里 斜率为 k，截距为 b 的直线。

总结一下，这两个空间的关系可以这样表述：左侧原空间的直线对应右侧参数空间一点；左侧原空间一点对应右侧空间一条直线。这是比较有意思的相互关系，圆形变换其实也有这个特点。参数即变量，变量即参数 的感觉。

基于此，我们就把刚才别扭的表述，说得准确些：对于左侧直线，我们用斜率 k 和截距 b 就可以描述它，并且唯一确定它，因此若建立一个斜率、截距空间，点(k，b)就可以表征一条原空间下斜率为 k 截距为 b 的直线。

那么是不是参数只能选择 k,b 呢？显然不是，比如你就可以选择 参数空间里横坐标为 k+b, 纵坐标为 b，同等效果。但一般，参数选择要为计算、理解方便服务。

假设，我们发挥了自己的想象，采取了如下两个参数，即圆心到直线的距离 d 和 这个垂线的角度 $\theta$，如下图所示。首先，我们明确的是，这两个参数是否可以唯一确定地表示这一直线？答案当时是肯定的，那么这个参数就能用。

那么，问题就来了，如果以 $d,\theta$ 为参数空间横纵坐标，那应该是怎样的。我们下面来考察一下：

首先，我们先把这条直线用 d 和 $\theta$ 表示出来，这个是高中数学题了，就不推导了（求解思路就是用 d 和$\theta$​ 表征线上任意一点）。直接给出答案，这条线可以这么表示（这里没有常规地把 y 放在左侧，为了美观）
$$d=xcos\theta +ysin\theta$$
同样的方法，对于无数 $d$ 和 $\theta$​​ ，我们要满足原空间里经过$(x_0,y_0)$​，即
$$x_0\cos \theta +y_0\sin \theta =x\cos \theta +y\sin \theta$$
也即有
$$d=x_0\cos \theta +y_0\sin \theta$$
这里体现了 d 是有取值范围的。

根据三角函数的和差角公式，可以写成
$$d=\sqrt{x_0+y_0}sin(\theta +\psi )$$
其中，$\psi$为常数，且$\psi =\arctan (\frac{x_0}{y_0})$。最终，我们就可以得到原空间直线上一点 $(x_0,y_0)$ ，在上述 $d$ 和 $\theta$ 参数空间下（以d为纵轴，$\theta$​ 为横轴），所表示的东西。是什么呢？是一条正弦曲线。如下图 (b) 所示

也就是说，在原空间里的任意一点 $(x_0,y_0)$，如果变换到上述 $d,\theta$​​ 参数空间里，就是一条正弦曲线。同样是点对应线的关系。

上面是直接给出了使用 $d$ 和 $\theta$ 参数，一个是截距一个是角度，显得很突兀。但实际上，使用 d 和$\theta$ 参数，应用十分广泛，本质上，它是参考极了坐标的表达，另一方面，其应用广泛的原因在于 d 和 $\theta$ 都是有范围的，后面图像直线检测实例中会讲到。

上述只是直接给出了结果，是为了避免一些人将它与直角坐标系到极坐标系变换相混淆。下面给出推导：

使用极坐标系表示直角坐标里的点，有个对应关系，即
$$x=\rho \cos \theta ,y=\rho \sin \theta$$
变换，即
$$x\cos \theta =\rho {\cos }^2\theta ,y\sin \theta =\rho {\sin }^2\theta$$
两等式累加，即
$$x\cos \theta +y\sin \theta =\rho$$
也就是上面我们有提到的用 $d$​ 和 $\theta$​​ 表示的直线公式。注意，这里的 $\rho$ 如果要是用于变换到参数空间，表示的不是直角坐标系里的一点到原点距离，而是 过该点且垂线倾角为 $\theta$ 的直线距原点的距离，$\theta$ 同理。 $\rho ,\theta$​​ 要是用于点变换到极坐标系下，就是我们常规表示，而且此时是点对点关系。再次强调两者不同点。

总结以上：原空间一点变换到参数空间的结果会随参数选择而变化，参数选择往往是基于计算方便、基于自己目的。

1.2.2 例子2：极坐标下的直线到参数空间的变换

问题来了，极坐标下直线一般方程是什么？同样是高中问题。

直角坐标下
$$y=kx+b$$
使用常规推导，即$y=\rho \sin \theta ,x=\rho \cos \theta$，带入​
$$\rho \sin \theta =k\rho \cos \theta +b$$
看着别扭，把 k 和 b 换下，即变成形如下式的形式
$$\rho (\sin \theta -m\cos \theta )-n=0$$
其中，m,n 为定值。也即 m,n 知道后就可以确定极坐标系下唯一直线，因此可以用 m,n 构建该极坐标系下直线的参数空间，即对应于一点(m,n)。只是它的物理意义在坐标系（极坐标系）里不那么看得出来。m,n 的物理意义是，该直线（在极坐标系下）映射到直角坐标系下的斜率和截距。贴个极坐标系下直线图

上式也可以利用三角函数的和差公式变换下，即得
$$\rho \sqrt{1+m^2}sin(\theta -\psi )-n=0$$
也即
$$\rho \sin (\theta -\psi )=\frac{n}{\sqrt{1+m^2}}$$
换下参数，即
$$\rho \sin (\theta +\alpha )=b$$
其中，$\alpha ,b$​ 为常数，同样，$\alpha ,b$​​​ 知道后就可以确定极坐标系下唯一直线，同样可以用它构建参数空间。

三个小问题：

• 上面以$\alpha ,b$​ 为参数，变换到参数空间后，形状是什么？好奇的自行探究吧。

• 这里的$\alpha ,b$​​ 可能不能随便取值，换句话说，并不是随意两个$\alpha ,b$​​​​ 都可以表示一条直线。因为从公式演化来看，两者都是受 m,n 控制，自由度受控，可能有些 $\alpha ,b$​ 是无效的，但可以确定的是，极坐标内任意直线都可以找到一组 $\alpha ,b$​ 与之唯一对应。感觉是如此，不再去印证。

• 是否可以考虑 参数 $\alpha ，b$​​ 用极坐标系表示？即用极坐标系表示参数空间。我想应该是可以的。这是个有意思的问题。但常规上，都是在笛卡尔坐标系下。同样不再去深究。

1.2.3 例子3：圆到参数空间的变换

有了上面的经验，我们考察一下圆。前面已经说过，表达形式不同，可选参数也是多样的。这里只给出常用的参数选择。

圆的一般方程（只考虑笛卡尔坐标系下）：
$$(x-a{)}^2+(x-b{)}^2=r^2$$
即圆心O坐标为 $(a,b)$​，半径为 $r$​。

选择 $a,b,r$​ 为参数，注意，这里验证了前面提到的 对于一些问题参数数量也是不一样。

按照前面对直线考察相同的步骤，参数空间里 一点 (a,b,r) 就可以表示原空间里这一圆。不同之处在于，这里上升到了三维坐标。

同样考察对于原空间圆上一点 $(x_0,y_0)$​​​​ ，与直线相同的思路，经过该点有无数的圆，不同圆心O、半径r就对应着不同的过该点的圆。但同样(a,b,r)不是随意的，而是满足过$(x_0,y_0)$ 这一基本条件，即​
$$(x_0-a{)}^2+(y_0-b{)}^2=r^2$$
这个也就是选择 a,b,r 作为坐标轴的参数空间下方程。写得顺眼点就是
$$(a-x_0{)}^2+(b-y_0{)}^2=r^2$$
更顺眼点，即
$$(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2=z^2$$
这个方程不就是圆锥方程吗。

参考直线时的表述，我们就可以说：过原空间一点的所有圆 对应于 参数空间里的一个圆锥。

如下图（a）(b)所示

【参考Fig.2自己想象吧，用python画太费劲了，懒。想象：左图(a)是一个点，然后有无数过该点的圆(用虚线表示)；右图(b)是一个圆锥。当然也可以有志之士帮忙画一下】

事实上，不如我们把两者综合起来说，即

对于原空间坐标中的一点，如果我们考察对象是 过该点的直线，那么对应于参数空间里，就是一条直线；如果我们考察对象是 过该点的圆，那么对应于参数空间里，就是一个圆锥

两个小问题：

• 维度相较于考察对象为直线时增加了一个，是不是很神奇？自行见解。
• 一个点对应了参数空间的一个圆锥，后面应用时(Hough圆检测)，计算量会非常非常大。因此一般不会直接应用，会有改进或别的思路。下面圆形检测部分会详解。

一个有意思的东西：

换个思路表示圆形，即

x = a + r$\cos \theta$

y = b + r$\sin \theta$

上面消去了$\theta$ ，会变成了圆一般方程 $(x-a{)}^2+(x-b{)}^2=r^2$， 这里我们消去r试试，即变成
$$y-b=(x-a)\tan \theta$$
如果以 $a,b,\theta$​ 为参数会怎样呢？

一个更有意思的东西：

对于原空间中一点，考察经过该点的所有圆，事实上使用 (a,b) 就可以唯一表示一个圆了，即圆心为(a,b)，且经过该点，就已经确定唯一圆了，即只考虑参数 a,b 不就够了吗？

换个更简单的，对于原空间一点，考察经过该点的所有直线，事实上使用斜率 k 就可以唯一表示一条线了，即斜率为k，且经过该点，截距自然而然就确定了。那只考虑参数 k 不就够了吗？为什么参数空间里还要使用两个参数 k,b 来确定经过该点唯一直线。

其实这个问题有些诡辩的意味。稍微思考一下就可以反驳，如果仅用 k 表达，也即参数空间是个一维坐标轴，反推一下，参数空间里一个 k 能表达一条唯一的线吗？显然不能。加入b的原因，就可以简单理解为 是为了把经过该点的信息囊括进去。

更简单直白点就是，参考例子 1 ，实际上 b 并不是单独参数，它只是 k的函数，即f(k)，如例子1中的纵轴其实是 $y_0-k{x}_0$。其目的就是为了表达它有个限制条件，即要经过$(x_0,y_0)$​。​

圆形Hough下，同样的原因。

至此，或许对 Hough 变换有了那么一点理解，或者说，有那么点印象了。

下面就直入主题，Hough变换的直线检测和圆检测，以及改进后的其它检测。

2. Hough 直线检测

将前面的结论再说一遍：

对于原空间里的一点，过该点有无数的直线，每条直线唯一对应着参数空间中的一点，而所有直线就对应参数空间里无数的点，这些无数点连起来就是一条直线$or$一条正弦线$or...$​​（取决于你选择的参数）。

先从解决一个简单问题入手。

2.1 问题

如何基于上述 Hough 变换的特点，检测三个点，即 $a(1,2),b(3,4),c(-1,0)$​​​ 是否在一条直线上？

2.2 思路

根据上面 Hough 直线变换的特点，这里使用 k,b 参数进行分析说明。

先考察 a(-1, 0)点，经过该点有无数的线，映射到 k,b 参数空间是一条直线。而 k,b 空间上该线一点也就对应于原空间这无数线中的其中一条。如下图(b)中红点，就对应于原空间红线。

下面给出参数空间曲线求解过程（可参考 例子1 过程）：

经过 a(1,2) 点的所有直线可表示为：
$$y=k(x-1)+2$$
即
$$y=kx-k+2$$
则参数空间中，横坐标为 k，表示原空间的直线斜率；纵坐标为 -k+2 ,表示原空间的直线截距，记为b。则参数空间中，线方程就是
$$y=-x+2$$
即 Fig.4 中图(b)所示。该线上每一点，对应左侧过点 a(1,2) 一条线。如红色所示。

同理方法，对于 b,c 点做一样的参数空间变换，最后结果如 Fig.5 所示

右侧参数空间里，有个特殊点 (1,1)，参数空间里三个线都经过这点。也即有

• 对于 a ，该特殊点含义是，原空间中，有个 斜率为 k=1，截距 b=1 的直线经过它。
• 对于 b ，该特殊点含义是，原空间中，有个 斜率为 k=1，截距 b=1 的直线经过它。
• 对于 c ，该特殊点含义是，原空间中，有个 斜率为 k=1，截距 b=1 的直线经过它。

换句话说，原空间里有一条直线经过了这三点。即 Fig.5 (a) 中的红色线。

至此，我们达到了目的。即三点在一条线上。且该线的斜率为1，截距为1。也即图fig.5(b)中参数空间的红色交点。

2.3 总结

所以对于直线检测，我们只需对每个点进行参数空间的直线变换，然后查看参数空间的交点情况。

如果没有交点，就是不共线。如果有 N 个直线交于一点，对应原空间里就是 N 个点共线。我们可以把 N 称作叠加度，或者说 参数空间中该点的亮度（名字乱起的）。亮度越高，共线的点越多，在原图中能直接观察到直线的可能性越大。

有意思的一点是，原空间两个点对应到参数空间会怎样？毕竟原空间中两点必共线，那参数空间是否必相交？参数空间里仅有两条线，且平行，对应原空间的两点是什么情况？

2.4 提升

2.4.1 实际问题

有了以上思路，就可以用 Hough 直线检测来解决实际问题了。

Hough 直线检测一般用于二值图中的直线检测，通常是一张图经过边缘算子后，检测边缘二值图是否存在直线。

如，利用 Hough 直线检测，检测 Lena 图中存在的直线。

2.4.2 求解思路

如果没有参考其他已有代码，而是基于上述一些知识，自己实现编程可能会遇到一些问题（比如我就是）。

即，如果我用 k,b 当参数空间，我可以很容易得到经过一点$(x_0,y_0)$，变换到参数空间里的直线为
$$b=-x_0\ast k+y_0$$
但问题是，k 可以取无穷大，b 也是，毕竟是条直线。我怎么编程表示出这条直线，因为后续还要计算各点对应线的交点，叠加度。直线无法表示出，怎么求交点？

有一种思路是解方程，考虑所有点变换到参数空间后的线方程，即
$$\{\begin{array}{c}\begin{array}{rl}b& =-x_0\ast k+y_0\\ b& =-x_1\ast k+y_1\\ & ⋮\\ b& =-x_n\ast k+y_n\end{array}\end{array}$$
问题转化为，得到一组组解（k,b），该解满足的方程数即为交点叠加度（或亮度）。具体解法，先将方程转化为参数矩阵，利用矩阵，然后慢慢折腾吧。（这是遇到问题后自己想到的，可行与否，未知，且不探究。感觉可行，实在不济，两两方程求解，把解带入其他方程验证。但计算复杂度可能会特别特别高。）

第二种思路就是使用之前提到的有取值范围的 $d,\theta$ 参数。 即 原点到直线距离 d 和 直线的法向量倾角 $\theta$ 。好处是，它俩都是有范围的。其中 $d\in [-\sqrt{x_0^2+y_0^2},\sqrt{x_0^2+y_0^2}]$ ,$\theta \in [0,2\pi ]$ 。这似乎就可以用编程来实现了。

• 前面已经推导出了，过点 $(x_0,y_0)$ ，变换到参数空间 $d,\theta$​​​ 后的曲线方程，即
  $$d=x_0\cos \theta +y_0\sin \theta$$
  或者
  $$d=\sqrt{x_0+y_0}sin(\theta +\psi ),其中\psi =\arctan (\frac{x_0}{y_0})$$
  编程实现如下：

  def getLine(x0,y0,angs_resolution= 100):
      """
      x0: 原空间下点横坐标
      y0: 原空间下点纵坐标
      angs_resolution: \theta 划分精度
      功能：原空间(x0,y0)点，变换到 d, \theta 参数空间的曲线。
      说明：因为计算机存储是离散值，所以只是 \theta 取到一些值下的直线。当然，\theta 取值越多，越精细。
      """
      
      angs = np.linspace(0, 2*np.pi, angs_resolution) # 定义\theta 取到的离散值
      d = x0 * np.cos(angs) + y0 * np.sin(angs)
      return angs,d
  

  测试一下，点 (x0, y0) 设为 (1, 1)，运行程序，可以得到如下结果
  

  原空间中一点，对应到 $\theta ,d$ 参数空间是一条正弦线。

• 求原空间所有点对应的正弦线，计算亮度

  事实上，getLine()输出的是一系列离散点，点横坐标是 $\theta$​ ，纵坐标是 d。我们查找所有输出值中 $(\theta ,d)$​​ 重复次数就行了。重复次数，就是亮度。而且还有一点方便的是，对于每组getLine() 输出值，$\theta$ 都是相同的，因此我们只需检查每组对应位 d 是否相同（或小于某一阈值）即可。

2.4.3 自编程实现

完整代码：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import cv2

def getLine(x0,y0,angs_resolution= 100):
    """
    x0: 原空间下点横坐标
    y0: 原空间下点纵坐标
    angs_resolution: \theta 划分精度
    功能：原空间(x0,y0)点，变换到 d, \theta 参数空间的曲线。
    说明：因为计算机存储是离散值，所以只是 \theta 取到一些值下的直线。当然，\theta 取值越多，越精细。
    """
    
    angs = np.linspace(0, 2*np.pi, angs_resolution) # 定义\theta 取到的离散值
    d = x0 * np.cos(angs) + y0 * np.sin(angs)
    return angs,d

def Hough(edgeImg, angsDiv = 500, dDiv=1000):
    # 获取图像尺寸
    ySize, xSize = edgeImg.shape

    # 得到二值图中所有点坐标(x,y)
    y, x = np.where(edgeImg != 0)
    
    # 大致确定 d 范围
    dMax = np.sqrt(np.max(y)**2+np.max(x)**2)

    # 分辨率
    d_res = 2*dMax/(dDiv-1)
    ang_res = 2*np.pi/(angsDiv-1)

    # 亮度模板，起初为全黑，当经过某点，亮度 +1
    template = np.zeros((dDiv, angsDiv), dtype = np.uint8)
    
    # 亮度叠加计算
    for xx in range(len(x)):
        _, _d = getLine(x[xx], y[xx], angsDiv)
        _n = ((_d+dMax)/d_res).astype(np.int64)
        angle = np.arange(0, angsDiv)
        for p in zip(angle, _n):
            template[p[1], p[0]] = template[p[1], p[0]] + 1
    return template

if __name__ == "__main__":
    # 读取图片
    imgPath = "C:\\Users\\zhangwei156\\Desktop\\figure\\lena.bmp"
    grayImg = cv2.imread(imgPath, 0)
    
    # 提取边缘
    edgeImg = cv2.Canny(grayImg, 300, 500)
    
    # 设置离散的精度
    angsDiv = 500
    dDiv = 1000
    # 霍夫变换
    forceImg = Hough(edgeImg, angsDiv, dDiv)
    
    plt.imshow(edgeImg)
    plt.show()
    plt.imshow(forceImg)
    plt.show()

结果如下：

另！验证代码也贴上吧：

# 一些后面要用到的常数
y, x = np.where(edgeImg != 0)
dMax = np.sqrt(np.max(y)**2+np.max(x)**2)
d_res = 2*dMax/(dDiv-1)
ang_res = 2*np.pi/(angsDiv-1)

# 这是只考察了最大点，即亮度最大的点
ind = np.where(forceImg == np.max(forceImg))

# theta 和 d 的真实值
theta = (ind[1])* ang_res
d = -dMax + (ind[0]) * d_res

# 对应原空间的直线
xx = np.arange(512)
i = 0
yy = (d[i] - xx*np.cos(theta[i]))/np.sin(theta[i])

plt.plot(xx, yy, "r", linewidth = 0.3)
plt.imshow(edgeImg)
plt.show()

结果：

看起来，好像是那么回事！ 换个图片试试：

Nice!

说明：

• 为了编程方便，同时能形象展示亮度信息，我把角度 $\theta \in [0,2\pi ]$​​​​​ 和距离 $d\in [-dMax,dMax]$​​​​​ 范围各自等分了共 $angsDiv$​​​​​ 份 和 $dDiv$​​​​​ 份。$forceImg$​​​​​ 图像横纵轴坐标表示的是第几份(全是整数)，不是直接的 $\theta$​​​​​ 和 d。如果求解真正的值，对于$d=-dMax+y\ast \frac{dMax-(-dMax)}{dDiv-1}$​​；$\theta$​ 同理。​​​​
• 对于如上自编程的实现，分辨率 angsDiv, dDiv 设置真的很重要，设置过小的话。结果可能看起来好像不对，就是精度问题。况且里面还用到了许多四舍五入。
• 分辨率越大，计算效率越低。已经感受到了Hough变换耗时的地方。不过，一些库（如openCV）里应该会有精巧方法，对此有所优化。
• 一个可供改进的点：可以考虑将$\theta ，d$ 相近的划归到一条直线，通过设定阈值实现，这样结果会更合理。
• 上面只使用了亮度最大的点，即只考虑原图中最直线的一条直线。
• 还有另一种编程思路，即借助另一种变换实现。即 Radon 变换。

2.5 openCV对应代码解读

先省略之，有空再读。基本原理清楚了，应该很好理解源码。

文档书写有些卡顿
霍夫圆检测另起一篇：详解 Hough 变换（下）圆形检测
以及Hough 直线检测的拓展：Radon 变换原理与应用