随机信号的参数建模法AR模型及matlab实现

随机信号参数模型

为随机信号建立参数模型是研究随机信号的一种基本方法，其含义是认为随机信号x(n)是由白噪w(n)激励某一确定系统的响应(如图 7.5)。只要白噪的参数确定了，研究随机信号就可以转化成研究产生随机信号的系统。

经典信号建模法（classical modeling method for signal）前面已经指出，医学信号处理的目的是提取包含于随机信号中的确定性成分，以便在一定的准确性（最小二乘意义）上进行预测。这就是建立各种各样的确定性数学模型，包括代数、微分、积分、差分方程模型。这是经典的信号建模方法。
信号的现代建模方法（Modern modeling method for signal）是建立在具有最大的不确定性基础上的预测。提出了众多的数学模型( mathematical models)。根据 Wold 的证明：任何平稳的 ARMA（自回归移动平均）模型或 MA 模型均可用无限阶或阶数足够的 AR 模型去近似。因此本节着重介绍 AR 模型的基本原理和方法。
对平稳随机信号，三种常用的线性模型分别是 AR 模型（自回归模型 Auto-regression
model），MA 模型（滑动平均模型 Moving average model）和 ARMA 模型（自回归滑移平均模型 Auto-regression-Moving average model）。

AR模型

随机信号x(n) 由本身的若干次过去值x(n-k)和当前的激励值w(n) 线性组合产生：

该模型的系统函数是：

p 是系统阶数，系统函数中只有极点，无零点，也称为全极点模型，系统由于极点的原因，要考虑到系统的稳定性，因而要注意极点的分布位置，用 AR（ p ）来表示。

标题AR 模型参数的估计

随机信号的建模法最近在生物医学信号处理中应用相当普遍，在自发脑电、诱发脑电、肌电、心电、胃电等方面都有人尝试应用模型法进行研究。应用较多的是 AR 模型，因为建立这种的模型计算工作比较容易。作为数学逼进，三种模型都可以互相转换。实际中选用哪一种模型就要考虑到节约和计算量，选定模型后，剩下的任务就是用适当的算法估计模型参数（ ak 、bk 、p 、 q），以便用模型对随机信号进行预测。
下面我们就以 AR 模型为例进行参数的估计。
1.AR 模型参数和自相关函数的关系

所以

将(7-35)和(7-36)结合，把该式的下标简化并写成矩阵的形式，可以写成单一的正规矩阵方程：

式（7-37）方程组的系数都是自相关矩阵 [R]p+1 ，由于自相关函数是偶对称函数：
Rxx​(m)=Rxx​(−m)，因而自相关矩阵是对称矩阵，与主对角线平行的斜对角线上的元素都是相同的，是(p+1)x(p+1) 的维托毕兹（Toeplitz）矩阵，所以存在高效算法，其中应用广泛的有 Levinson－Durbin（L-D）算法。Yule－Walker（Y-W）方程表明，只要已知输出平稳随机信号的自相关函数，就能求出 AR 模型中的参数{ak }，并且需要的观测数据较少。

【例 7-2】已知自回归信号模型 AR（3）为：

a=[-14/24 -9/24 1/24];%模型参数{ak}
b=[1;0;0;0];
A = [1,a(1),a(2),a(3);
     a(1),1+a(2),a(3),0;
     a(2),a(1)+a(3),1,0;
     a(3),a(2),a(1),1]; 
 %题a.自相关序列
Rxx=A\b 

for m = 5 : 6
    Rxx(m) = 0;
    for k = 1 : 3
        Rxx(m) = Rxx(m) - a(k) * Rxx(m - k);
    end
end
Rxx

b. 已知自相关序列值，来估计 3 阶 AR 模型的参数{aˆ k }以及 2 σ w
利用式（7-37）得到矩阵：

Rxx_T=[Rxx(1),Rxx(2),Rxx(3),Rxx(4);
    Rxx(2),Rxx(1),Rxx(2),Rxx(3);
    Rxx(3),Rxx(2),Rxx(1),Rxx(2);
    Rxx(4),Rxx(3),Rxx(2),Rxx(1)];
ans=Rxx_T\b

可以发现对 AR 模型参数是无失真的估计，因为已知 AR 模型，我们可以得到完全的输出观测值，因而求得的自相关函数没有失真，当然也就可以不失真的估计

c. 利用给出的 32 点观测值，先求自相关序列（按照上节的样本自相关定义

xn=[0.4282 1.1454 1.5597 1.8994 1.6854 2.3075 2.4679 1.9790 1.6063 1.2804 -0.2083 0.0577 0.0206 0.3572 1.6572 0.7488 1.6666 1.9830 2.6914 1.2521 1.8691 1.6855 0.6242 0.1763 1.3490 0.6955 1.2941 1.0475 0.4319 0.0312 0.5802 -0.6177];
%自相关估计值 
Rx=xcorr(xn)./length(xn);
Rx=Rx(length(xn):end)
R=[Rx(1),Rx(2),Rx(3),Rx(4);
    Rx(2),Rx(1),Rx(2),Rx(3);
    Rx(3),Rx(2),Rx(1),Rx(2);
    Rx(4),Rx(3),Rx(2),Rx(1)];
a=fsolve(@(a)R*[1 a(1) a(2) a(3)].'-[a(4) 0 0 0].',rand(1,4))
e=abs(a-a_T)