阿强真
阿强真

数字特征（期望与方差）

一、数学期望

（1）离散型随机变量

设离散型随机变量X的分布率为P\left\{ X=x_i \right\} =p_i\left( i=1,2... \right),当级数\sum_i{x_ip_i}绝对收敛时，就称级数\sum_i{x_ip_i}的和为X的期望,记为E(X)或EX.即E(X)=\sum_i{x_ip_i}

1.泊松分布的期望

例1:设随机变量，X~P(\lambda) ,求E(X)，D(X)

解：X的分布律为$$ P\left( X=k \right) =\frac{\lambda ^k}{k!}e^{-\lambda},k=0,1,2,3...\lambda >0

$$ E\left( X \right) =\sum_{k=0}^{\infty}{k\frac{\lambda ^k}{k!}e^{-\lambda}}=e^{-\lambda}\lambda \sum_{k=1}^{\infty}{\frac{\lambda ^{k-1}}{\left( k-1 \right) !}}=\lambda

$$ \boldsymbol{e}^{\boldsymbol{x}}=\sum_{\boldsymbol{n}=\boldsymbol{0}}^{\boldsymbol{\infty }}{\frac{\boldsymbol{x}^{\boldsymbol{n}}}{\boldsymbol{n}!}}

2.几何分布的期望

设随机变量X服从参数为p的几何分布，其分布律为：

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