win10+Python3.7.3+OpenCV3.4.1入门学习（十四 傅里叶变换）————14.3 OpenCV实现傅里叶变换

Python版本是Python3.7.3，OpenCV版本OpenCV3.4.1，开发环境为PyCharm

14.3 OpenCV实现傅里叶变换

OpenCV提供了函数cv2.dft()和cv2.idft()来实现傅里叶变换和逆傅里叶变换，下面分别展开介绍。

14.3.1 实现傅里叶变换

函数cv2.dft()的语法格式为：

返回结果=cv2.dft(原始图像，转换标识)
在使用该函数时，需要注意参数的使用规范：
● 对于参数“原始图像”，要首先使用np.float32()函数将图像转换成np.float32格式。
● “转换标识”的值通常为“cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT”，用来输出一个复数阵列。

函数cv2.dft()返回的结果与使用Numpy进行傅里叶变换得到的结果是一致的，但是它返回的值是双通道的，第1个通道是结果的实数部分，第2个通道是结果的虚数部分。
经过函数cv2.dft()的变换后，我们得到了原始图像的频谱信息。此时，零频率分量并不在中心位置，为了处理方便需要将其移至中心位置，可以用函数numpy.fft.fftshift()实现。例如，如下语句将频谱图像dft中的零频率分量移到频谱中心，得到了零频率分量位于中心的频谱图像dftshift。

dftShift = np.fft.fftshift(dft)

经过上述处理后，频谱图像还只是一个由实部和虚部构成的值。要将其显示出来，还要做进一步的处理才行。
函数cv2.magnitude()可以计算频谱信息的幅度。该函数的语法格式为：

返回值=cv2.magnitude(参数1，参数2)

式中两个参数的含义如下：
● 参数1：浮点型x坐标值，也就是实部。
● 参数2：浮点型y坐标值，也就是虚部，它必须和参数1具有相同的大小（size值的大小，不是value值的大小）。
函数cv2.magnitude()的返回值是参数1和参数2的平方和的平方根，公式为：

式中，I 表示原始图像，dst 表示目标图像。
得到频谱信息的幅度后，通常还要对幅度值做进一步的转换，以便将频谱信息以图像的形式展示出来。简单来说，就是需要将幅度值映射到灰度图像的灰度空间[0, 255]内，使其以灰度图像的形式显示出来。
这里使用的公式为：

result = 20*np.log(cv2.magnitude(实部，虚部))

下面对一幅图像进行傅里叶变换。如下代码针对图像“lena”进行傅里叶变换，并且计算了幅度值，对幅度值进行了规范化处理：

import numpy as np
import cv2
img = cv2.imread('image\\lena.bmp', 0)
dft = cv2.dft(np.float32(img), flags=cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT)
print(dft)
dftShift = np.fft.fftshift(dft)
print(dftShift)
result = 20 * np.log(cv2.magnitude(dftShift[:, :, 0], dftShift[:, :, 1]))
print(result)

得到的值范围分别如下图所示。其中：
● 图（ a ）显示的是函数cv2.dft()得到的频谱值，该值是由实部和虚部构成的。
● 间( b )的图显示的是函数cv2.magnitude()计算得到的频谱幅度值，这些值不在标准的图像灰度空间[0, 255]内。
● 图( c )显示的是对函数cv2.magnitude()计算得到的频谱幅度值进一步规范的结果，现在值的范围在[0, 255]内。

eg1：用OpenCV函数对图像进行傅里叶变换，并展示其频谱信息。
:代码如下：

import numpy as np
import cv2
import matplotlib.pyplot as plt
img = cv2.imread('image\\lena.bmp',0)
dft = cv2.dft(np.float32(img),flags = cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT)
dftShift = np.fft.fftshift(dft)
result = 20*np.log(cv2.magnitude(dftShift[:,:,0],dftShift[:,:,1]))
plt.subplot(121),plt.imshow(img, cmap = 'gray')
plt.title('original'),plt.axis('off')
plt.subplot(122),plt.imshow(result, cmap = 'gray')
plt.title('result'), plt.axis('off')
plt.show()

运行上述代码后，得到如下图所示的结果。其中：
● 左图是原始图像。
● 右图是频谱图像，是使用函数np.fft.fftshift()将零频率分量移至频谱图像中心位置的结果。

14.3.2 实现逆傅里叶变换

在OpenCV中，使用函数cv2.idft()实现逆傅里叶变换，该函数是傅里叶变换函数cv2.dft()的逆函数。其语法格式为：

返回结果=cv2.idft(原始数据)

对图像进行傅里叶变换后，通常会将零频率分量移至频谱图像的中心位置。如果使用函数numpy.fft.fftshift()移动了零频率分量，那么在进行逆傅里叶变换前，要使用函数numpy.fft.ifftshift()将零频率分量恢复到原来位置。
还要注意，在进行逆傅里叶变换后，得到的值仍旧是复数，需要使用函数cv2.magnitude()计算其幅度。

eg2：用OpenCV函数对图像进行傅里叶变换、逆傅里叶变换，并展示原始图像及经过逆傅里叶变换后得到的图像。
代码如下：

import numpy as np
import cv2
import matplotlib.pyplot as plt
img = cv2.imread('image\\lena.bmp',0)
dft = cv2.dft(np.float32(img),flags = cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT)
dftShift = np.fft.fftshift(dft)
ishift = np.fft.ifftshift(dftShift)
iImg = cv2.idft(ishift)
iImg= cv2.magnitude(iImg[:,:,0],iImg[:,:,1])
plt.subplot(121),plt.imshow(img, cmap = 'gray')
plt.title('original'), plt.axis('off')
plt.subplot(122),plt.imshow(iImg, cmap = 'gray')
plt.title('inverse'), plt.axis('off')
plt.show()

运行上述代码后，得到如下图所示的结果。其中：
● 左图是原始图像img。
● 右图是对原始图像img进行傅里叶变换、逆傅里叶变换后得到的图像。

14.3.3 低通滤波示例

前面讲过，在一幅图像内，低频信号对应图像内变化缓慢的灰度分量。例如，在一幅大草原的图像中，低频信号对应着颜色趋于一致的广袤草原。低通滤波器让高频信号衰减而让低频信号通过，图像进行低通滤波后会变模糊。
例如，在下图中，左图original是原始图像，中间的图像result是对original进行傅里叶变换后得到的结果，右图是低通滤波后的图像。将傅里叶变换结果图像result中的高频信号值都替换为0（处理为黑色），就屏蔽了高频信号，只保留低频信号，从而实现了低通滤波。

在实现低通滤波时，可以专门构造一个如下图中左图所示的图像，用它与原图的傅里叶变换频谱图像进行与运算，就能将频谱图像中的高频信号过滤掉。

对于图中的左图，可以采用如下方式构造：

rows, cols = img.shape
crow, ccol = int(rows/2) , int(cols/2)
mask = np.zeros((rows, cols,2), np.uint8)
mask[crow-30:crow+30, ccol-30:ccol+30] = 1

然后，将其与频谱图像进行运算，实现低通滤波。这里采用的运算形式是：

fShift = dftShift*mask

eg3：使用函数cv2.dft()对图像进行傅里叶变换，得到其频谱图像。然后，在频域内将其高频分量的值处理为0，实现低通滤波。最后，对图像进行逆傅里叶变换，得到恢复的原始图像。观察傅里叶变换前后图像的差异。
代码如下：

import numpy as np
import cv2
import matplotlib.pyplot as plt
img = cv2.imread('image\\lena.bmp',0)
dft = cv2.dft(np.float32(img),flags = cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT)
dftShift = np.fft.fftshift(dft)
rows, cols = img.shape
crow,ccol = int(rows/2) , int(cols/2)
mask = np.zeros((rows,cols,2),np.uint8)
#两个通道，与频谱图像匹配
mask[crow-30:crow+30, ccol-30:ccol+30] = 1
fShift = dftShift*mask
ishift = np.fft.ifftshift(fShift)
iImg = cv2.idft(ishift)
iImg= cv2.magnitude(iImg[:,:,0],iImg[:,:,1])
plt.subplot(121),plt.imshow(img, cmap = 'gray')
plt.title('original'), plt.axis('off')
plt.subplot(122),plt.imshow(iImg, cmap = 'gray')
plt.title('result'), plt.axis('off')
plt.show()

运行上述代码，得到如下图所示的结果，左图为原始图像，右图为变换后的图像。可以看到，经过低通滤波后，图像的边缘信息被削弱了。