数据结构与算法(Python版)十八：什么是递归

什么是递归Recursion？

递归是一种解决问题的方法， 其精髓在于

将问题分解为规模更小的相同问题，持续分解，直到问题规模小到可以用非常简单直接的方式来解决。递归的问题分解方式非常独特，其算法方面的明显特征就是：在算法流程中调用自身。

递归为我们提供了一种对复杂问题的优雅解决方案， 精妙的递归算法常会出奇简单， 令人赞叹。

初识递归：数列求和

问题：给定一个列表， 返回所有数的和

列表中数的个数不定，需要一个循环和一个累加变量来迭代求和

程序很简单， 但假如没有循环语句？

既不能用 for，也不能用 while 还能对不确定长度的列表求和么？

def listsum(numList):
    theSum = 0
    for i in numList:
        theSum = theSum + i
    return theSum

print(listsum([1, 3, 5, 7, 9]))

我们认识到求和实际上最终是由一次次的加法实现的， 而加法恰有2个操作数， 这个是确定的。

看看怎么想办法， 将问题规模较大的列表求和， 分解为规模较小而且固定的2个数求和（加法） ？

同样是求和问题，但规模发生了变化，符合递归解决问题的特征！

换个方式来表达数列求和：全括号表达式

(1+(3+(5+(7+9))))

上面这个式子， 最内层的括号(7+9)， 这是无需循环即可计算的， 实际上整个求和的过程是这样：

观察上述过程中所包含的重复模式， 可以把求和问题归纳成这样：

数列的和=“首个数”+“余下数列”的和

如果数列包含的数少到只有1个的话， 它的和就是这个数了

这是规模小到可以做最简单的处理

上面的递归算法变成程序

def listsum(numList):
    if len(numList) == 1:
        return numList[0]
    else:
        return numList[0] + listsum(numList[1:])

print(listsum([1, 3, 5, 7, 9]))

上面程序的要点：

1. 问题分解为更小规模的相同问题，并表现为“调用自身”
2. 对“最小规模”问题的解决：简单直接

递归程序如何被执行？

递归函数调用和返回过程的链条

递归“三定律”

为了向阿西莫夫的“机器人三定律”致敬， 递归算法也总结出“三定律”

1. 递归算法必须有一个基本结束条件（最小规
   模问题的直接解决）
2. 递归算法必须能改变状态向基本结束条件演
   进（减小问题规模）
3. 递归算法必须调用自身（解决减小了规模的
   相同问题）

递归“三定律”：数列求和问题

1. 数列求和问题首先具备了基本结束条件：当列表长度为1的时候， 直接输出所包含的唯一数
2. 数列求和处理的数据对象是一个列表， 而基本结束条件是长度为1的列表， 那递归算法就要改变列表并向长度为1的状态演进我们看到其具体做法是将列表长度减少1。
3. 调用自身是递归算法中最难理解的部分，实际上我们理解为“问题分解成了规模更小的相同问题”就可以了在数列求和算法中就是“更短数列的求和问题”