【题解】平版

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题目

题目描述

小明喜欢玩拼板游戏，买了$N$块正方形的拼板，边长分别是$A_1,A_2,...A_N$。可是在玩拼图游戏的过程中，他发现自己把拼板的尺寸搞错了。所以他需要调换其中的一些，使得调换以后所有拼板总面积正好是$M$。调换拼板是需要成本的，把一块边长是$A_i$的拼板替换成一块边长是$B_i$的拼板需要的成本是$(A_i-B_i{)}^2$。特别的，小明只能把之前买的拼板用来做调换。也就是说，他不能用$A$拼板来调换$B$拼板，然后再用$B$拼板来调换$C$拼板。

请你计算，小明要达到目的所需要花的最小代价。如果无法达到目的，输出$-1$。

输入

第$1$行，两个空格分开的整数，$N$和$M$。
第$2$到$N+1$行，每行一个整数$A_i$。

输出

一个整数，能通过调换使得总面积达到$M$的最小代价，如果不可行输出$-1$。

样例输入&输出

输入：

3 6
3
3
1

输出：

5

样例说明：一共有$3$块拼板，两块的边长为$3$，一块的边长为$1$，想要通过替换使得总面积为$6$。

把两块边长为$3$的拼板分别调换为边长为$2$和边长为$1$的，总面积变成$4+1+1=6$，所需要花的代价是$4+1=5$。

数据范围

$1\le N\le 10$

$1\le M\le 10000$

$1\le A_i\le 100$

题解

发现$M$的范围非常小。

于是乎想到dp。

$dp[i][j]$表示只用前$j$块拼板获得$i$面积所需要的最小代价,$INF$表示不可行。转移方程为：

$dp[i][j]=\min \{(k-A[j]{)}^2+dp[i-k\ast k][j-1]\}$（只考虑换第j块平板）

初始条件：$dp[0][0]=0,dp[i>0][0]=INF$

时间复杂度：$O(NM\sqrt{M})=10^7$

代码：

#include
using namespace std;
#define INF 1919810114
int n,m;
int a[20];
int dp[10010][20];
int main(){
freopen("slab.in","r",stdin);
freopen("slab.out","w",stdout);

    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
    for(int i=1;i<=m;i++) dp[i][0]=INF;
    for(int j=1;j<=n;j++)
        for(int i=0;i<=m;i++){
            dp[i][j]=INF;
            for(int k=1;k*k<=i;k++) dp[i][j]=min(dp[i][j],(a[j]-k)*(a[j]-k)+dp[i-k*k][j-1]);
        }
    if(dp[m][n]==INF) cout<<-1;
    else cout<<dp[m][n];
    return 0;
}