labuladong的算法小抄笔记
刚刚比赛完蓝桥杯，感觉自己需要好好地系统学习一下算法了。老干部给我推荐了labuladong的算法小抄，感觉还不错。就按照教程的步骤写一下笔记：
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学习算法和刷题的框架思维
数据结构的存储方式
数组由于是紧凑连续存储,可以随机访问，通过索引快速找到对应元素，而且相对节约存储空间。但正因为连续存储，内存空间必须一次性分配够，所以说数组如果要扩容，需要重新分配一块更大的空间，再把数据全部复制过去，时间复杂度 O(N)；而且你如果想在数组中间进行插入和删除，每次必须搬移后面的所有数据以保持连续，时间复杂度 O(N)。
链表因为元素不连续，而是靠指针指向下一个元素的位置，所以不存在数组的扩容问题；如果知道某一元素的前驱和后驱，操作指针即可删除该元素或者插入新元素，时间复杂度 O(1)。但是正因为存储空间不连续，你无法根据一个索引算出对应元素的地址，所以不能随机访问；而且由于每个元素必须存储指向前后元素位置的指针，会消耗相对更多的储存空间。
数据结构的基本操作
数组遍历框架，典型的线性迭代结构：
void traverse(int[] arr) {
for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
// 迭代访问 arr[i]
}
}
链表遍历框架，兼具迭代和递归：
/* 基本的单链表节点 */
class ListNode {
int val;
ListNode next;
}
void traverse(ListNode head) {
for (ListNode p = head; p != null; p = p.next) {
// 迭代访问 p.val
}
}
void traverse(ListNode head) {
// 递归访问 head.val
traverse(head.next);
}
二叉树遍历框架，典型的非线性递归遍历结构：
/* 基本的二叉树节点 */
class TreeNode {
int val;
TreeNode left, right;
}
void traverse(TreeNode root) {
traverse(root.left);
traverse(root.right);
}
二叉树框架可以扩展为 N 叉树的遍历框架：
/* 基本的 N 叉树节点 */
class TreeNode {
int val;
TreeNode[] children;
}
void traverse(TreeNode root) {
for (TreeNode child : root.children)
traverse(child);
}
N 叉树的遍历又可以扩展为图的遍历，因为图就是好几 N 叉棵树的结合体。
算法刷题指南
先二叉树、后回溯算法、然后动态规划，算法基本都可以理解为二叉树的遍历。
动态规划解题套路
明确 base case -> 明确「状态」-> 明确「选择」 -> 定义 dp 数组/函数的含义。
#初始化 base case
dp[0][0][...] = base
#进行状态转移
for 状态1 in 状态1的所有取值：
for 状态2 in 状态2的所有取值：
for ...
dp[状态1][状态2][...] = 求最值(选择1，选择2...)
斐波那契数列
- 暴力递归
int fib(int N) {
if (N == 1 || N == 2) return 1;
return fib(N - 1) + fib(N - 2);
}
递归算法的时间复杂度，就是用子问题个数乘以解决一个子问题需要的时间。观察递归树，很明显发现了算法低效的原因：存在大量重复计算，比如 f(18) 被计算了两次，而且你可以看到，以 f(18) 为根的这个递归树体量巨大，多算一遍，会耗费巨大的时间。更何况，还不止 f(18) 这一个节点被重复计算，所以这个算法及其低效。
- 带备忘录的递归解法
使用数组或者哈希表（字典）都可以做备忘录
int fib(int N) {
// 备忘录全初始化为 0
int[] memo = new int[N + 1];
// 进行带备忘录的递归
return helper(memo, N);
}
int helper(int[] memo, int n) {
// base case
if (n == 0 || n == 1) return n;
// 已经计算过，不用再计算了
if (memo[n] != 0) return memo[n];
memo[n] = helper(memo, n - 1) + helper(memo, n - 2);
return memo[n];
}
实际上，带「备忘录」的递归算法，把一棵存在巨量冗余的递归树通过「剪枝」，改造成了一幅不存在冗余的递归图，极大减少了子问题（即递归图中节点）的个数。
- dp数组的迭代（递推）解法
有了上一步「备忘录」的启发，我们可以把这个「备忘录」独立出来成为一张表，通常叫做 DP table，在这张表上完成「自底向上」的推算岂不美哉！
int fib(int N) {
if (N == 0) return 0;
int[] dp = new int[N + 1];
// base case
dp[0] = 0; dp[1] = 1;
// 状态转移
for (int i = 2; i <= N; i++) {
dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
}
return dp[N];
}
状态转移方程：
细心的读者会发现，根据斐波那契数列的状态转移方程，当前状态只和之前的两个状态有关，其实并不需要那么长的一个 DP table 来存储所有的状态，只要想办法存储之前的两个状态就行了。
所以，可以进一步优化，把空间复杂度降为 O(1)。这也就是我们最常见的计算斐波那契数的算法：
int fib(int n) {
if (n == 0 || n == 1) {
// base case
return n;
}
// 分别代表 dp[i - 1] 和 dp[i - 2]
int dp_i_1 = 1, dp_i_2 = 0;
for (int i = 2; i <= n; i++) {
// dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
int dp_i = dp_i_1 + dp_i_2;
// 滚动更新
dp_i_2 = dp_i_1;
dp_i_1 = dp_i;
}
return dp_i_1;
}
凑零钱问题
如何列出正确的状态转移方程？
- 确定base case
- 确定【状态】，也就是原问题和子问题中会变化的变量
- 确定【选择】，也就是导致状态发生变化的行为
- 明确dp函数/数组的定义
// 伪码框架
int coinChange(int[] coins, int amount) {
// 题目要求的最终结果是 dp(amount)
return dp(coins, amount)
}
// 定义：要凑出金额 n，至少要 dp(coins, n) 个硬币
int dp(int[] coins, int n) {
// 做选择，选择需要硬币最少的那个结果
for (int coin : coins) {
res = min(res, 1 + dp(n - coin))
}
return res
}
加上base case（也就是特殊情况，如金额为0，金额小于0等）
int coinChange(int[] coins, int amount) {
// 题目要求的最终结果是 dp(amount)
return dp(coins, amount)
}
// 定义：要凑出金额 n，至少要 dp(coins, n) 个硬币
int dp(int[] coins, int amount) {
// base case
if (amount == 0) return 0;
if (amount < 0) return -1;
int res = Integer.MAX_VALUE;
for (int coin : coins) {
// 计算子问题的结果
int subProblem = dp(coins, amount - coin);
// 子问题无解则跳过
if (subProblem == -1) continue;
// 在子问题中选择最优解，然后加一
res = Math.min(res, subProblem + 1);
}
return res == Integer.MAX_VALUE ? -1 : res;
}
2. 带备忘录的递归
int[] memo;
int coinChange(int[] coins, int amount) {
memo = new int[amount + 1];
// 备忘录初始化为一个不会被取到的特殊值，代表还未被计算
Arrays.fill(memo, -666);
return dp(coins, amount);
}
int dp(int[] coins, int amount) {
if (amount == 0) return 0;
if (amount < 0) return -1;
// 查备忘录，防止重复计算
if (memo[amount] != -666)
return memo[amount];
int res = Integer.MAX_VALUE;
for (int coin : coins) {
// 计算子问题的结果
int subProblem = dp(coins, amount - coin);
// 子问题无解则跳过
if (subProblem == -1) continue;
// 在子问题中选择最优解，然后加一
res = Math.min(res, subProblem + 1);
}
// 把计算结果存入备忘录
memo[amount] = (res == Integer.MAX_VALUE) ? -1 : res;
return memo[amount];
}
- dp数组解法
int coinChange(int[] coins, int amount) {
int[] dp = new int[amount + 1];
// 数组大小为 amount + 1，初始值也为 amount + 1
Arrays.fill(dp, amount + 1);
// base case
dp[0] = 0;
// 外层 for 循环在遍历所有状态的所有取值
for (int i = 0; i < dp.length; i++) {
// 内层 for 循环在求所有选择的最小值
for (int coin : coins) {
// 子问题无解，跳过
if (i - coin < 0) {
continue;
}
dp[i] = Math.min(dp[i], 1 + dp[i - coin]);
}
}
return (dp[amount] == amount + 1) ? -1 : dp[amount];
}
回溯算法解题套路框架
主要是一个决策树的遍历过程
- 路径：已做出的选择
- 选择列表：当前可以做的选择
- 结束条件：到达决策树底层，无法再做选择
框架：
result = []
def backtrack(路径, 选择列表):
if 满足结束条件:
result.add(路径)
return
for 选择 in 选择列表:
做选择
backtrack(路径, 选择列表)
撤销选择
全排列问题
在数的遍历中，我们定义的 backtrack 函数其实就像一个指针，在这棵树上游走，同时要正确维护每个节点的属性，每当走到树的底层，其「路径」就是一个全排列。
多叉树遍历框架：
void traverse(TreeNode root) {
for (TreeNode child : root.childern) {
// 前序遍历需要的操作
traverse(child);
// 后序遍历需要的操作
}
}
全排列代码：
List<List<Integer>> res = new LinkedList<>();
/* 主函数，输入一组不重复的数字，返回它们的全排列 */
List<List<Integer>> permute(int[] nums) {
// 记录「路径」
LinkedList<Integer> track = new LinkedList<>();
// 「路径」中的元素会被标记为 true，避免重复使用
boolean[] used = new boolean[nums.length];
backtrack(nums, track, used);
return res;
}
// 路径：记录在 track 中
// 选择列表：nums 中不存在于 track 的那些元素（used[i] 为 false）
// 结束条件：nums 中的元素全都在 track 中出现
void backtrack(int[] nums, LinkedList<Integer> track, boolean[] used) {
// 触发结束条件
if (track.size() == nums.length) {
res.add(new LinkedList(track));
return;
}
for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
// 排除不合法的选择
if (used[i]) {
// nums[i] 已经在 track 中，跳过
continue;
}
// 做选择
track.add(nums[i]);
used[i] = true;
// 进入下一层决策树
backtrack(nums, track, used);
// 取消选择
track.removeLast();
used[i] = false;
}
}