哈夫曼树和哈夫曼编码

什么是哈夫曼树

哈夫曼树，又称最优二叉树，是带权路径长度最短的数，可用来构造最优编码，用于信息传输，数据压缩等方面，是一种应用广泛的二叉树。
首先介绍一些与哈夫曼树相关的基本概念：

1. 路径：书中一个节点到另一个节点之间的分值序列，构成两个节点间的路径。
2. 路径长度：路径上分支的条数称为“路径长度”。
3. 树的路径长度：从树根到每个节点的路径长度之和成为“数的路径长度”。
4. 节点的权：给树中节点赋予一个数值，该数值成为“节点的权”。
5. 带权路径长度：节点到树根间的路径长度与节点的权的乘积，称为该节点的“带权路径长度”。
6. 数的带权路径长度：树中所有叶子节点的带权路径长度之和，称为“树的带权路径长度”，通常记为WPL、

由于哈夫曼树是一颗二叉树，可以用前面介绍的二叉树的存储方法，但哈夫曼树有其自己的特点，因此一般采用如下介绍的静态三叉链表来存储
哈夫曼树的建立算法中，哈夫曼树没有度为1的结点，这类二叉树又称正则二叉树。对于n个叶子的哈夫曼树，算法中构建了n-1个度为2的结点，所以哈夫曼树共有2n-1个节点，可以存储在一个大小为2n-1的一位数组中。

哈夫曼树的建立过程见上图：
由于每个节点急需要孩子的信息，又需要双亲的信息，因此每个节点可设计成如下所示的三叉链表节点结构：

Weight	Parent	Lchild	Rchild

其中，Weight为节点的权值，Parent为双亲节点在数组中的下标，Lchild为左孩子节点在数组中的下标，Rchild为右孩子节点在数组中的下标。
其中哈夫曼树的静态三叉链表存储结构，其类型定义如下：

#define N 30
#define M * N - 1
typedef struct {
	int Weight;
	int Parent, Lchild, Rchild;
} HTNode, HuffmanTree[M +1];

静态三叉链表数组中，前n个元素存储叶子节点，后n-1个元素村塾不断生成的新节点即度为2的分支节点，最后一个元素将是哈夫曼树的根节点。
哈夫曼算法的实现如下可分为初始化和构建哈夫曼树两部分。

1. 初始化所有节点
2. 构造新节点
   代码如下：

void CrdtdHuffmanTree (HuffmanTree ht, int w[], int n) {
	m = 2* n - 1;
	for (int i = 1; i < n; i++) {
		ht[i].Weight = w[i];
		ht[i].Parent = 0;
		ht[i].Lchild = 0;
		ht[i].Rchild = 0;
 	}	
	
	for (int i = n + 1; i <= m; i++) {
		ht[i].Weight = 0;
		ht[i].Parent = 0;
		ht[i].Lchild = 0;		
		ht[i].Rchild = 0;
	}

	for (int i = n +1; i <= m; i++) {
		//在ht的前i-1项中选双亲为0且权值最小的两节点s1, s2
		select(ht, i - 1, &s1, &s2);
		ht[i].Weight = ht[s1].Weight + ht[s2].Weight;//创建新节点，赋权值	
		//赋新节点左右孩子指针
		ht[i].Lchild = s1;
		ht[i].Rchild = s2;
		//改s1, s2的双亲指针
		ht[s1].Parent = i;
		ht[s2].Parent = i;
	}
}

哈夫曼编码是最优二进制前缀编码，其算法实现如下：

1. 构造哈夫曼树
2. 在哈夫曼树上求各叶子节点的编码

例如，上图哈夫曼树中E的哈夫曼编码为：01，A的哈夫曼编码为：000， B的哈夫曼编码为：001， C的哈夫曼编码为100， D的哈夫曼编码为：101， F的哈夫曼编码为：11

代码如下：（下方代码是从叶子节点逆向走到根节点的方式获取哈夫曼编码）

void CrtHuffmanCodel (HuffmanTree ht, HuffmanCode hc, int n) {
	//从叶子到根，逆向求各叶子节点的编码
	char *cd;
	int start;
	cd = (char *) malloc (n * sizeof(char));//临时编码数组	
	cd[n - 1] = '\0';			//从后向前诸位求编码，首先放编码结束符
	//从每个叶子开始，求相应的哈夫曼编码
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		start = n - 1; c = i; p = ht[i].Parent;//c为当前节点，p为其双亲
		while (p != 0) {
			--start;
			if (ht[p].Lchild == c) cd[start] = '0';//左分支得‘0’
			else cd[start] = '1';
			//上溯一层
			c = p;
			p = ht[p].parent;
		}
		hc[i] = (char *) malloc ((n - start) * sizeof(char));//动态申请编码串空间
		strcpy(hc[i], &cd[start]);//复制编码
	}
	free(cd);
}

以上代码就可以从哈夫曼树中获取到哈夫曼编码了。