数据结构— 数组、特殊矩阵、稀疏矩阵
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目录
让我们一起驶进数组的领域吧！
了解一下， 什么是数组呢？
概述
数组的顺序存储（一维）
数组的顺序存储（二维）
你知道有哪些特殊矩阵吗？
概述
对称矩阵压缩存储【重点】
快来认识一下三角矩阵吧！
概述&存储方式
上三角矩阵
下三角矩阵
知道对角矩阵，对角在什么地方吗？
定义&名词
压缩存储
你知道稀疏矩阵吗？
定义&存储方式
三元组表存储
三元组表存储：矩阵转置
三元组表存储：快速矩阵转置
十字链表存储
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让我们一起驶进数组的领域吧！
了解一下， 什么是数组呢？
概述：
数组：是一组具有相同数据类型的数据元素的集合。数组元素按某种次序存储在一个地址连续的内存单元空间中。
一维数组：一个顺序存储结构的线性表。[a0,a1,a2, ....]
二维数组：数组元素是一维数组的数组。[ [] , [] , [] ] 。二维数组又称为矩阵。
数组的顺序存储（一维）：
多维数组中，存在两种存储方式：
以行序为主序列的存储方式（行优先存储）。大部分程序都是按照行序进行存储的。
以列序为主序列的存储方式（列优先存储） 。
一维数组内存地址 ：
Loc(0) ：数组的首地址。
i ： 第 i 个元素。
L ：每一个数据元素占用字节数。
例：求A[6] 的内存地址：
数组的顺序存储（二维）
行序：
行序：使用内存中一维空间（一片连续的存储空间），以行的方式存放二维数组。先存放第一行，在存放第二行，依次类推存放所有行。
二维数组（n×m）内存地址（以==行序==为主序列） ：
Loc(0,0) ：二维数组的首地址。
i ： 第i个元素。
L ： 每一个数据元素占用字节数。
m：矩阵中的列数。
n：矩阵中的行数。
注意：
如果索引号不是从0开始，不能使用此公式。
如果索引号不是从0开始的，需要先将索引号
归零，再使用公式。
列序：
列序：使用内存中一维空间（一片连续的存储空间），以列的方式存放二维数组。先存放第一列，再存放第二列，依次类推，存放所有列。
二维数组（n×m）内存地址（以==列序==为主序列）：
小试牛刀：
1、有一个二维数组A[1..6,0..7]，每一个数组元素用相邻的6个字节存储，存储器按字节编址，那么这个数组占用的存储空间大小是（ ）个字节。
A. 48
B. 96
C. 252
D. 288
2、设有数组A[1..8,1..10]，数组的每个元素占3字节，数组从内存首地址BA开始以==列序==为主顺序存放，则数组元素A[5,8]的存储首地址为（ ）。
A. BA + 141
B. BA + 180
C. BA + 222
D. BA + 225
3、设有数组A[0..8,1..10]，数组的每个元素占5字节，数组从内存首地址BA开始以==列序==为主顺序存放，则数组元素A[7,8]的存储首地址为（ BA + 350 ）。
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呼啦呼啦！呼啦呼啦！
你知道有哪些特殊矩阵吗？
概述：
特殊矩阵：具有相同的数据或0元素，且数据分布具有一定规律。
分类：
对称矩阵
三级矩阵
对角矩阵
特殊矩阵只有部分有数据，其他内容为零，使用内存中一维空间（一片连续的存储空间）进行存储时，零元素没有必要进行存储，通常都需要进行压缩存储。
压缩存储：多个值相同的矩阵元素分配同一个存储空间，零元素不分配存储空间。
存储有效数据，零元素和无效数据不需要存储。
不同的举证，有效和无效定义不同。
对称矩阵压缩存储【重点】：
定义及其压缩方式：
什么是对称矩阵：a(i,j) = a(j,i)
对称矩阵的压缩方式：共4种 ：
下三角部分以行序为主序存储的压缩 。
下三角部分以列序为主序存储的压缩 。
上三角部分以行序为主序存储的压缩 。
上三角部分以列序为主序存储的压缩 。
压缩存放及其公式 ：
压缩后存放到一维空间（连续的存放空间中）：
对称矩形 A(i,j) 对应 一维数组 s[k] , k与i和j 公式：
小试牛刀：
1、设有一个 20 阶的对称矩阵 A，采用压缩存储的方式，将其下三角部分以行序为主序存
储到一维数组 B 中（矩阵 A 的第一个元素为 a1,1，数组 b 的下标从 1 开始），则矩阵中元素 a9,2 在一维数组 B 中的下标是：
（ ）。
A．41
B．32
C．18
D．48
2、设有一个 15 阶的对称矩阵 A，采用压缩存储方式将其下三角部分以行序为主序存储到
一维数组 b 中。（矩阵 A 的第一个元素为 a1,1，数组 b 的下标从 1 开始），则数组元素
b[13]对应 A 的矩阵元素是（ ）。
A．a5,3
B．a6,4
C．a7,2
D．a6,8
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快来认识一下三角矩阵吧！
概述&存储方式
三角矩阵分为：上三角矩阵、下三角矩阵。
❄️❄️上三角矩阵：主对角线（不含主对角线）下方的元素值均为0。只在上三角的位置进行数据存储。
❄️❄️ 下三角矩阵：主对角线（不含主对角线）上方的元素值均为0。只在下三角的位置进行数据存储 。
存储方式：三角矩阵的存放方式，与对称矩阵的存放方式相同。
上三角矩阵
上三角矩阵实例：
上三角矩阵对应一维数组存放下标，计算公式 ：
下三角矩阵
下三角矩阵实例：
下三角矩阵对应一维数组存放下标，计算公式：
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知道对角矩阵，对角在什么地方吗？
定义&名词
对角矩阵：矩阵的所有非零元素都集中在以主对角线为中心的带状区域中，即除主对角线上和直接在主对角线上、下方若干条对角线上的元素之外，其余元素皆为零。
名词：
❄️❄️ 半带宽：主对角线一个方向 对角线的个数，个数为d。
❄️❄️带宽：所有的对角线的个数。个数为 2d+1。
❄️❄️ n阶2d+1对角矩阵非零元素个数：n(2d+1) - d(d+1)。
❤️n(2d+1) ：下图中所有颜色的个数
❤️ d(d+1)/2 ：右下方浅蓝色三角的个数
❤️d(d+1) ：2个三级的个数（右下方、左上方）
❄️❄️ 一维数组存储个数：n(2d+1) ，若某行没有2d+1个元素，则0补足。
压缩存储
❄️❄️ 压缩后存放一维数组，第一行和最后一行不够2d+1，所以需要补零。
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你知道稀疏矩阵吗？
定义&存储方式
稀疏矩阵：具有较多的零元素，且非零元素的分布无规律的矩阵。
❤️ 稀疏因子：用于确定稀疏矩阵个数指标。
常见的2种存放方式：三元组表存储、十字链表存储。
三元组表存储
概述
❤️ 使用三元组唯一标识一个非零元素。
❤️ 三元组组成：row行、column列、value值。
❤️ 三元组表：用于存放稀疏矩阵中的所有元素。
相关类及其操作
三元组结点类 ：
public class TripleNode { //三结点
public int row; //行号
public int column; //列号
public int value; //元素值
}三元组顺序表类 ：
// 稀疏矩阵三元组·顺序表类定义
public class SparseMatrix {
public TripleNode data[] ; //三元组表
public int rows ; //行数
public int cols ; //列数
public int nums ; //非零元素的个数
//构造方法
public SparseMatrix(int maxSize) {
//为顺序表分配maxSize个存储单元
data = new TripleNode[maxSize] ;
for (int i = 0; i < data.length; i++) {
data[i] = new TripleNode();
}
rows = 0 ;
cols = 0 ;
nums = 0 ;
}
//打印输出稀疏矩阵
public void printMatrix () {
System.out.println("稀疏矩阵的三元组存储结构：");
System.out.println("行数："+rows+"，列数："+cols+"，非零元素个数："+nums);
System.out.println("行下标 列下标 元素值");
for (int i = 0; i < nums; i++) {
System.out.println(data[i].row+"\t"+data[i].column+"\t"+data[i].value);
}
}三元组表初始化操作：
//从一个稀疏矩阵创建三元组表，mat我稀疏矩阵
public SparseMatrix(int mat[][]) {
int i ,j , k=0, count = 0 ;
rows = mat.length ; //行数
cols = mat[0].length; //列数
//统计非零元素的个数
for ( i = 0; i < mat.length; i++) {
for ( j = 0; j < mat[i].length; j++) {
if (mat[i][j] != 0 ){
count++ ;
}
}
}
nums = count ; //非零元素的个数
data = new TripleNode[nums]; //申请三元组结点空间
for ( i = 0; i < mat.length; i++) {
for ( j = 0; j < mat[i].length; j++) {
if (mat[i][j] != 0 ){
data[k] = new TripleNode(i,j,mat[i][j]); //建立三元组
k++ ;
}
}
}
}
三元组表存储：矩阵转置
定义 ：
❄️❄️❄️ 矩阵转置：一种简单的矩阵运算，将矩阵中每个元素的行列序号互换。
❤️ 特点：矩阵N[m×n] 通过转置 矩阵M[n×m]
❤️ 转置原则：转置前从左往右查看每一列的数据，转置后就是一行一行的数据。
算法分析：
算法：转置
/** this转置前的对象，每一个对象中都有一个data数据
* tm 转置后的对象，每一个对象中都有一个data数据
* return 转置后的稀疏矩阵对象
*/
public SparseMatrix transpose() { //转置
// 1 根据元素个数，创建稀疏矩阵
SparseMatrix tm = new SparseMatrix(nums);
// 2 设置基本信息
tm.cols = rows; //2.1 行列交换
tm.rows = cols; //2.2 列行交换
tm.nums = nums; //2.3 元素个数
// 3 进行转置
int q = 0; //3.1 转置后数据的索引
for(int col = 0 ; col < cols; col ++) { //3.2 转置之前数据数组的每一个列号
for(int p = 0; p < nums; p ++) { //3.3 依次获得转置前数据数组的每一个数据
if (data[p].column == col) { //3.4 获得指定列的数据
tm.data[q].row = data[p].column; //3.5 行列交换，值不变
tm.data[q].column = data[p].row;
tm.data[q].value = data[p].value;
q++; //3.6 转置后的指针后移
}
}
}
// 4 返回转置后的稀疏矩阵
return tm;
}❤️ 矩阵转置时间复杂度：O(n×t) ，n列数，t非零个数。
三元组表存储：快速矩阵转置
定义 ：
假设：原稀疏矩阵为N、其三元组顺序表为TN，N的转置矩阵为M，其对应的三元组顺序表为TM。
快速转置算法：求出N的每一列的第一个非零元素，在转置后的TM中的行号，然后扫描转置前的三元组顺序表TN，把该列上的元素依次存放于TM的相应位置上。
基本思想：分析原稀疏矩阵的数据,得到与转置后数据关系：
❤️ 每一列第一个元素位置：上一列第一个元素的位置 + 上一列非零元素的个数
❤️ 当前列，原第一个位置如果已经处理，第二个将更新+1成新的第一个位置。
公式：
需要提供两个数组：num[]、cpot[]
❤️ num[] ：表示原稀疏矩阵N中第col[]列的非零元素个数
❤️ cpot[] ：初始值表示原稀疏矩阵N中的第col[]列的第一个非零元素在TM中的位置
公式：
算法：快速转置
//矩阵快速转置算法
public SparseMatrix fasttranspose () {
// 1 根据元素个数，创建稀疏矩阵
SparseMatrix tm = new SparseMatrix(nums);
tm.cols = rows ; //行数变列数
tm.rows = cols ; //列数变行数
tm.nums = nums ; //非零元素个数不变
//校验
if (nums <= 0 ){
return tm ;
}
//每一列的非零个数
int[] num = new int[cols] ; //根据列数创建num数组
for (int i = 0; i < cols; i++) {
num[i] = 0 ; //初始化数据（可省略）
}
for (int i = 0; i < nums; i++) { //变量转置的数据
int j = data[i].column ;
num[j] ++ ;
}
//转置后每一列第一个元素的位置数组
int[] cpot = new int[cols]; //位置数组
cpot[0] = 0 ; //第一列的第一个元素为0
for (int i = 1; i < cols; i++) {
cpot[i] = cpot[i-1] + num[i-1] ; //当前列第一个元素位置 = 上一列元素位置 + 上一列非零元素个数
}
//转置处理
for (int i = 0; i < nums; i++) {
int j = data[i].column ; //转置前，每一个元素的列数
int k = cpot[j]; //转置后的位置
tm.data[k].row = data[i].column ; //原数据转置后数据
tm.data[k].column = data[i].row;
tm.data[k].value = data[i].value;
cpot[j]++ ; //下一个元素的位置
}
return tm;
}❤️ 时间复杂度：O(n+t) ，n列数，t非零个数
十字链表存储
定义：
当稀疏矩阵中非零元素的位置或个数经常发生变化时，不宜采用三元组顺序表存储结构，而该用链式存储结构。
十字链表结点由5个域组成：
❤ row：所在行
❤ column：所在列
❤❤️ value：非零元素值
❤ right：存放与该非零元素==同行==的下一个非零元素结点指针。
❤ down：存放与该非零元素==同列==的下一个非零元素结点指针。
相关类 ：
❤ 结点类：
package data.strings_arrays.arrays;
//十字链接结点类
public class OLNode {
public int row,col ; //元素的行号和列号
public int e ; //元素值
public OLNode right ; // 行链表指针
public OLNode down ; //列链表指针
//无参构造
public OLNode() {
}
//有参构造
public OLNode(int row, int col, int e, OLNode right, OLNode down) {
this.row = row;
this.col = col;
this.e = e;
this.right = right;
this.down = down;
}
}❤❤️十字链表类定义初始化：
package data.strings_arrays.arrays;
//稀疏矩阵的十字链表类定义:
public class CrossList {
public int mu, nu, tu; //行数、列数、非零元素个数
public OLNode[] rhead, chead; //行、列指针数组
//构造方法，初始化
public CrossList (int m ,int n ) {
mu = m ;
nu = n ;
rhead = new OLNode[m] ; //初始化行指针数组
chead = new OLNode[n] ; //初始化列指针数组
tu = 0 ;
for (int i = 0; i < m; i++) {
rhead[i] = new OLNode();
}
for (int i = 0; i < n; i++) {
chead[i] = new OLNode();
}
}
}❤️ ❤️ ❤️ ❤️ ❤️ ❤️ ❤️
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