k-means算法详解

k-means算法详解

1、算法简介

k-means算法是一种聚类算法，所谓聚类，即根据相似性原则，将具有较高相似度的数据对象划分至同一类簇，将具有较高相异度的数据对象划分至不同类簇。聚类与分类最大的区别在于，聚类过程为无监督过程，即待处理数据对象没有任何先验知识，而分类过程为有监督过程，即存在有先验知识的训练数据集。
k-means算法中的k代表类簇个数，means代表类簇内数据对象的均值（这种均值是一种对类簇中心的描述），因此，k-means算法又称为k-均值算法。k-means算法是一种基于划分的聚类算法，以距离作为数据对象间相似性度量的标准，即数据对象间的距离越小，则它们的相似性越高，则它们越有可能在同一个类簇。数据对象间距离的计算有很多种，k-means算法通常采用欧氏距离来计算数据对象间的距离。

2、算法详解

k-means算法以距离作为数据对象间相似性度量的标准，通常采用欧氏距离来计算数据对象间的距离。下面给出欧式距离的计算公式：

其中，D表示数据对象的属性个数。
  k-means算法聚类过程中，每次迭代，对应的类簇中心需要重新计算（更新）：对应类簇中所有数据对象的均值，即为更新后该类簇的类簇中心。定义第k个类簇的类簇中心为CenterkCenterk，则类簇中心更新方式如下：

其中，Ck表示第k个类簇，|Ck|表示第k个类簇中数据对象的个数，这里的求和是指类簇Ck中所有元素在每列属性上的和，因此Centerk也是一个含有D个属性的向量，表示为Centerk=(Centerk,1,Centerk,2,…,Centerk,D)。
  k-means算法需要不断地迭代来重新划分类簇，并更新类簇中心，那么迭代终止的条件是什么呢？一般情况，有两种方法来终止迭代：一种方法是设定迭代次数T，当到达第T次迭代，则终止迭代，此时所得类簇即为最终聚类结果；另一种方法是采用误差平方和准则函数，函数模型如下：

其中，K表示类簇个数。当两次迭代J的差值小于某一阈值时，即ΔJ<δΔJ<δ时，则终止迭代，此时所得类簇即为最终聚类结果。
  k-means算法思想可描述为：首先初始化K个类簇中心；然后计算各个数据对象到聚类中心的距离，把数据对象划分至距离其最近的聚类中心所在类簇中；接着根据所得类簇，更新类簇中心；然后继续计算各个数据对象到聚类中心的距离，把数据对象划分至距离其最近的聚类中心所在类簇中；接着根据所得类簇，继续更新类簇中心；……一直迭代，直到达到最大迭代次数T，或者两次迭代J的差值小于某一阈值时，迭代终止，得到最终聚类结果。算法详细流程描述如下：

  k-means算法聚类过程示意图，如下：

其中，黑色圆点代表类簇中心，白色圆点代表待聚类数据对象。

3、算法优缺点分析

• 优点：
    算法简单易实现；
• 缺点：
    需要用户事先指定类簇个数K；
    聚类结果对初始类簇中心的选取较为敏感；
    容易陷入局部最优；
    只能发现球型类簇；

4、改进算法k-means++

k-means++算法选择初始seeds的基本思想就是：初始的聚类中心之间的相互距离要尽可能的远。算法的描述如下：
1、从输入的数据点集合中随机选择一个点作为第一个聚类中心
2、对于数据集中的每一个点x，计算它与最近聚类中心(指已选择的聚类中心)的距离D(x)
3、选择一个新的数据点作为新的聚类中心，选择的原则是：D(x)较大的点，被选取作为聚类中心的概率较大
4、重复2和3直到k个聚类中心被选出来
利用这k个初始的聚类中心来运行标准的k-means算法