线性代数Python计算：矩阵的线性运算

给定正整数$m$和$n$和数域$P$，
$\forall \mathbf{A}=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \cdots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right),\mathbf{B}=\left(\begin{array}{cccc}{b}_{11}& b_{12}& \cdots & b_{1n}\\ b_{21}& b_{22}& \cdots & b_{2n}\\ ⋮& ⋮& \cdots & ⋮\\ b_{m1}& b_{m2}& \cdots & b_{mn}\end{array}\right)\in P^{m\times n}$，定义$\mathbf{A}$与$\mathbf{B}$的和为：
$$\mathbf{C}=\mathbf{A}+\mathbf{B}=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}+b_{11}& a_{12}+b_{12}& \cdots & a_{1n}+b_{1n}\\ a_{21}+b_{21}& a_{22}+b_{23}& \cdots & a_{2n}+b_{2n}\\ ⋮& ⋮& \cdots & ⋮\\ a_{m1}+b_{m1}& a_{m2}+b_{m2}& \cdots & a_{mn}+b_{mn}\end{array}\right)\in P^{m\times n}.$$
定义$\lambda$与$\mathbf{A}$的积：
$$\lambda \cdot \mathbf{A}=\left(\begin{array}{cccc}\lambda a_{11}& \lambda a_{12}& \cdots & \lambda a_{1n}\\ \lambda a_{21}& \lambda a_{22}& \cdots & \lambda a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \cdots & ⋮\\ \lambda a_{m1}& \lambda a_{m2}& \cdots & \lambda a_{mn}\end{array}\right).$$
数$\lambda$与矩阵$\mathbf{A}$的积常简记为$\lambda \mathbf{A}$。矩阵的加法和数乘法统称为矩阵的线性运算。
在Python的numpy包中，表示两个同形（具有相同的行数和列数）2维数组的array对象，按元素运算实现矩阵的加法，数与数组的按元素乘法实现矩阵的数乘运算。
例1 实数域ℝ上矩阵$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\end{array}\right)$，$\mathbf{B}=\left(\begin{array}{ccc}6& 5& 4\\ 3& 2& 1\end{array}\right)$，计算$\mathbf{A}+\mathbf{B}$。

import numpy as np                      #导入numpy
A=np.array([[1, 2, 3],                  #设置A
            [4, 5, 6]])
B=np.array([[6, 5, 4],                  #设置B
            [3, 2, 1]])
print(A+B)

运行程序，输出

[[7 7 7]
 [7 7 7]]

即$\mathbf{A}+\mathbf{B}=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc}6& 5& 4\\ 3& 2& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}7& 7& 7\\ 7& 7& 7\end{array}\right)$。
例2 我们知道$(B,\oplus ,\wedge )$构成一个域，其中$B=\{0,1\}$，$\oplus$和$\wedge$分别表示比特异或运算和与运算（见博文《Python的位运算》）。分辨率为$m\times n$的单色屏幕（黑白屏）可视为$B$上的一个$m\times n$矩阵$\mathbf{A}$。 为檫除屏$\mathbf{A}$上的画面，可以作运算$\mathbf{A}\oplus \mathbf{A}$，也可以作运算$0\wedge \mathbf{A}$。今设$8\times 8$单色屏上画面为

试用上述关于$B^{n\times n}$上线性运算$\oplus$和$\wedge$的方法檫除画面。

import numpy as np                      #导入numpy
A=np.array([[0,0,1,1,1,1,0,0],			#设置画面矩阵
            [0,1,0,0,0,0,1,0],
            [1,0,0,0,0,0,0,1],
            [1,0,0,0,0,0,0,1],
            [1,0,0,0,0,0,0,1],
            [1,0,0,0,0,0,0,1],
            [0,1,0,0,0,0,1,0],
            [0,0,1,1,1,1,0,0]])
print(A)
print(A^A)								#用异或运算檫除
print(0&A)								#与运算檫除

Python分别用“^”和“&”表示异或运算符$\oplus$和与运算符$\wedge$（见博文《Python的位运算》）。运行程序，输出

[[0,0,1,1,1,1,0,0],			#设置画面矩阵
 [0,1,0,0,0,0,1,0],
 [1,0,0,0,0,0,0,1],
 [1,0,0,0,0,0,0,1],
 [1,0,0,0,0,0,0,1],
 [1,0,0,0,0,0,0,1],
 [0,1,0,0,0,0,1,0],
 [0,0,1,1,1,1,0,0]]
[[0 0 0 0 0 0 0 0]
 [0 0 0 0 0 0 0 0]
 [0 0 0 0 0 0 0 0]
 [0 0 0 0 0 0 0 0]
 [0 0 0 0 0 0 0 0]
 [0 0 0 0 0 0 0 0]
 [0 0 0 0 0 0 0 0]
 [0 0 0 0 0 0 0 0]]
[[0 0 0 0 0 0 0 0]
 [0 0 0 0 0 0 0 0]
 [0 0 0 0 0 0 0 0]
 [0 0 0 0 0 0 0 0]
 [0 0 0 0 0 0 0 0]
 [0 0 0 0 0 0 0 0]
 [0 0 0 0 0 0 0 0]
 [0 0 0 0 0 0 0 0]]

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