数据结构 - 二叉树，二叉查找树，平衡二叉树，红黑树

一 二叉树

树的概念：

树是一种 非线性 的数据结构，它是由 n （ n>=0 ）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。 把它叫做树是因为它看 起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的 。

二叉树（binary tree）是指树中结点的度不大于2的有序树，它是一种最简单且最重要的树。二叉树的递归定义为：二叉树是一棵空树，或者是一棵由一个根节点和两棵互不相交的，分别称作根的左子树和右子树组成的非空树；左子树和右子树又同样都是二叉树 。

两种特殊的二叉树：

一棵深度为k，且有2^k-1个节点的二叉树，称为满二叉树。这种树的特点是每一层上的节点数都是最大节点数。而在一棵二叉树中，除最后一层外，若其余层都是满的，或者说在最后一层右边缺少连续若干节点，则此二叉树为完全二叉树，深度为k的完全二叉树，至少有2^(k-1)个叶子节点，至多有2^k-1个节点。

二 二叉查找树

二叉树具有以下性质：左子树的键值小于根的键值，右子树的键值大于根的键值。如下图：

对该二叉树的节点进行查找发现深度为1的节点的查找次数为1，深度为2的查找次数为2，深度为n的节点的查找次数为n。

三 平衡二叉树（AVL Tree）

平衡二叉树（AVL树）在符合二叉查找树的条件下，还满足任何节点的两个子树的高度最大差为1。下面的两张图片，左边是AVL树，它的任何节点的两个子树的高度差<=1；右边的不是AVL树，其根节点的左子树高度为3，而右子树高度为1；

如果在AVL树中进行插入或删除节点，可能导致AVL树失去平衡，这种失去平衡的二叉树可以概括为四种姿态：LL（左左）、RR（右右）、LR（左右）、RL（右左）。它们的示意图如下： 

这四种失去平衡的姿态都有各自的定义： 
LL：LeftLeft，也称“左左”。插入或删除一个节点后，根节点的左孩子（Left Child）的左孩子（Left Child）还有非空节点，导致根节点的左子树高度比右子树高度高2，AVL树失去平衡。

RR：RightRight，也称“右右”。插入或删除一个节点后，根节点的右孩子（Right Child）的右孩子（Right Child）还有非空节点，导致根节点的右子树高度比左子树高度高2，AVL树失去平衡。

LR：LeftRight，也称“左右”。插入或删除一个节点后，根节点的左孩子（Left Child）的右孩子（Right Child）还有非空节点，导致根节点的左子树高度比右子树高度高2，AVL树失去平衡。

RL：RightLeft，也称“右左”。插入或删除一个节点后，根节点的右孩子（Right Child）的左孩子（Left Child）还有非空节点，导致根节点的右子树高度比左子树高度高2，AVL树失去平衡。

AVL树失去平衡之后，可以通过旋转使其恢复平衡。

LL的旋转。LL失去平衡的情况下，可以通过一次旋转让AVL树恢复平衡。步骤如下：

1. 将根节点的左孩子作为新根节点。
2. 将新根节点的右孩子作为原根节点的左孩子。
3. 将原根节点作为新根节点的右孩子。

LL旋转示意图如下：

RR的旋转：RR失去平衡的情况下，旋转方法与LL旋转对称，步骤如下：

1. 将根节点的右孩子作为新根节点。
2. 将新根节点的左孩子作为原根节点的右孩子。
3. 将原根节点作为新根节点的左孩子。

RR旋转示意图如下：

LR的旋转：LR失去平衡的情况下，需要进行两次旋转，步骤如下：

1. 围绕根节点的左孩子进行RR旋转。
2. 围绕根节点进行LL旋转。

LR的旋转示意图如下：

RL的旋转：RL失去平衡的情况下也需要进行两次旋转，旋转方法与LR旋转对称，步骤如下：

1. 围绕根节点的右孩子进行LL旋转。
2. 围绕根节点进行RR旋转。

RL的旋转示意图如下：

四 红黑树 

 有了二叉搜索树，为什么还需要平衡二叉树？

在学习二叉搜索树、平衡二叉树时，我们不止一次提到，二叉搜索树容易退化成一条链
这时，查找的时间复杂度从O ( l o g 2 N ) O(log_2N)O(log 2N)也将退化成O ( N ) O(N)O(N)
引入对左右子树高度差有限制的平衡二叉树，保证查找操作的最坏时间复杂度也为O ( l o g 2 N ) O(log_2N)O(log 2N)。

有了平衡二叉树，为什么还需要红黑树？

AVL的左右子树高度差不能超过1，每次进行插入/删除操作时，几乎都需要通过旋转操作保持平衡
在频繁进行插入/删除的场景中，频繁的旋转操作使得AVL的性能大打折扣
红黑树通过牺牲严格的平衡，换取插入/删除时少量的旋转操作，整体性能优于AVL
红黑树插入时的不平衡，不超过两次旋转就可以解决；删除时的不平衡，不超过三次旋转就能解决
红黑树的红黑规则，保证最坏的情况下，也能在O ( l o g 2 N ) O(log_2N)O(log 2N)时间内完成查找操作。

红黑规则

一棵典型的红黑树，如图所示

 从图示，可以发现红黑树的一些规律：
节点不是红色就是黑色，根节点是黑色
红黑树的叶子节点并非传统的叶子节点，红黑树的叶子节点是null节点（空节点）且为黑色
同一路径，不存在连续的红色节点
以上是我们能发现的一些规律，这些规律其实是红黑规则的一部分。

红黑规则

节点不是黑色，就是红色（非黑即红）
根节点为黑色
叶节点为黑色（叶节点是指末梢的空节点 Nil或Null）
一个节点为红色，则其两个子节点必须是黑色的（根到叶子的所有路径，不可能存在两个连续的红色节点）
每个节点到叶子节点的所有路径，都包含相同数目的黑色节点（相同的黑色高度）。