数值计算(五)——函数逼近一致逼近多项式(1)

最佳逼近问题的提出

插值法所得到的的函数也是逼近的一种，然而还没解决的问题是使用等距插值时，会出现所谓的龙格现象，当$n\to \infty$时，是否有插值多项式$p_n(x)$一致收敛于$f(x)$,1885年$Weierstrass$给出了肯定的回答对于这个问题。也就是所谓的魏尔斯特拉斯定理：

设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，则对任何$ϵ>0$总存在一代数多项式$p(x)$使得$\underset{a\le x\le b}{\max }\mid f(x)-p(x)\mid <ϵ$.

简单的来说就是如下所示：

补充知识点

赋范线性空间和范数的含义

内积空间

$Cauchy-Schwarz不等式$：设$X$是一个内积空间，对于$\forall u,v\in X$有$(u,v)\le \mid \mid u\mid {\mid }_2\cdot \mid \mid v\mid {\mid }_2$

平行四边形定律：设$X$是一个内积空间，对于$\forall u,v\in X$有$\mid \mid u+v\mid {\mid }_2^2+\mid \mid u-v\mid {\mid }_2^2=2(\mid \mid u\mid {\mid }_2^2+\mid \mid v\mid {\mid }_2^2)$

正交函数族

最佳逼近多项式定义

设$f(x)是[a,b]上的连续函数$，称$E_n(f;P_n)=\underset{p_n\in P_n}{\inf }\underset{a\le x\le b}{\max }\mid f(x)-p_n(x)\mid$为逼近子空间，$P_n$对函数$f(x)$的最佳一致逼近，简称最佳逼近或切比雪夫$(Chebyshev)$逼近，并简记为$E_n(f)$而使得上式达到最佳逼近值的多项式$p_n^{\ast }\in P_n$即满足：$E_n(f)=\underset{a\le x\le b}{\max }\mid f(x)-p_n^{\ast }(x)\mid$称$f(x)$为n次最佳一致逼近代数多项式。

#Chebyshev多项式#：对任意函数$f\in C[a,b],f\notin P_n,p是f的n次最佳一致逼近多项式的充要条件是f-p在[a,b]上存在至少n+2个点组成的交错点组。$具有以下两个推论：
（1）：如果$f\in C[a,b],那么在P_n中只存在一个关于f(x)的最佳一致逼近多项式$
（2）：设$p(x)$是$f(x)$的$n$次最佳一致逼近多项式，如果$f(x)$在$[a,b]$上有$n+1$阶导数，并且$f^{n+1}(x)在[a,b]$上保号，那么，$f-p$的交错点组恰有n个交错点，并且区间$[a,b]的端点属于f-p的交错点组$

最佳一致逼近多项式误差估计

设$f(x)\in C^{n+1}[-1,1],L_n(x)为插值多项式，其插值节点x_0,x_1,...,x_n取为Chebyshev多项式P_{n+1}$的零点，则$P_n(x)是f(x)在[a,b]$上的最佳一致逼近多项式且误差为$R_n(x)=\underset{a\le x\le b}{\max }\mid f(x)-p_n(x)\mid \le \frac{1}{2^n(n+1)!}\mid \mid f^{n+1}(x)\mid {\mid }_{\infty }$

整个题目大家就懂了

最佳平方逼近问题

没看懂定义的话直接看题目你就懂了：

再加点难度：

欢乐的时光总是短暂的，让我们下一次再见！！！

good good study,day day up! (study hard, improve every day)

预知后事，请听下回分解！！！！