设计B+树（B+Tree）

目录

设计一个节点结构

原理及解释

代码块

算法设计

插入算法

从叶子结点查找的方式

从根节点查找的方式

insert_Leaf_Item(ptr, pos, kx, rec);

创建叶子结点的

叶子节点分裂转移代码

分支节点插入

好了，插入代码到此结束了；

 测试如图

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设计一个节点结构

原理及解释

先可以看看别的地方给出的B+树定义，B+树点击即可；

对于B+树节点结构的思路如下：

现在设计的节点框架如下，看看都要设计什么变量；

typedef struct BNode
{
  //B+树的变量
}BNode;

（1）每个节点必须有存放自己双亲节点指针；

（2）对于关键码来说，必须要知道关键码的个数，后面操作都能用上；

（3）对于B+树来说，叶子节点和分支节点结构不一样吧；所以得区分一下吧；

（4）关键码不可少吧；

（5）记录集指针不可少，我们就是通过关键码找记录集的吧；

（6）对于一个树来说，孩子指针不能少吧；

（7）对于B+树的叶子结点来说，是通过链表连接的，所以链表所用的直接前驱指针和直接后继指针不能不有吧；

到现在基本就结束了；以上述给出个设计思路，给出一张我理解的图，拿图好说话（以五阶B+树为例）；

 图中字母意思：

• n代表 num（关键码个数） 
• p 代表Parent指针（指向双亲结点）
• key代表关键码数组（不占位只是为好理解）
• t代表节点是分支还是叶子；
• r代表记录集指针数组（r字符不占位置）
• pr代表链表的前驱指针 
• nt代表链表后继指针

对于一个节点结构来说，它只能为分支或者是叶子结点，只能是一个，所以设计结构体如下：

typedef struct BNode
{
	int num; //关键码数量
	BNode* parent;//双亲指针
	NodeType utype; // LEAF , BRCH;	结构体类型
	KeyType key[M + 1];//关键码数组
	union
	{
		struct	// LEAF  叶子结点
		{
			Record* recptr[M + 1];
			BNode* prev, * next;
		};
		// BRCH;  分支节点
		BNode* sub[M + 1];
	};
}BNode;

对于B+树来说，我们可以怎样去设计它的结构，为了查找方便设计如下：

typedef struct
{
	struct BNode* root;//指向根节点
	struct BNode* first;//指向叶子结点第一个节点
	int cursize;//结构体数量
}BTree;

最后一步，设计一结构体，用于查询，插入，如下；

typedef struct
{
	struct BNode* pnode;	// 节点指针
	int index;			//节点某一关键码位置
	bool tag;			//是否存在该值
}Result;

代码块

对于五阶B+树来说，整体代码块如下：

#define  M  5   //  M 奇数 // 
#define  BRCHMAX    (M-1) //  // SUB M 
#define  BRCHMIN    (M/2);	  // SUB M/2+1

#define  LEAFMAX (M)   // MAX ELEM	 5
#define  LEAFMIN (M/2+1)   // MIN ELEM; 3 

typedef int KeyType;
typedef struct {}Record;
typedef enum { BRCH = 1, LEAF = 2 } NodeType;

typedef struct BNode
{
	int num; //关键码数量
	BNode* parent;//双亲指针
	NodeType utype; // LEAF , BRCH;	结构体类型
	KeyType key[M + 1];//关键码数组
	union
	{
		struct	// LEAF  叶子结点
		{
			Record* recptr[M + 1];
			BNode* prev, * next;
		};
		// BRCH;  分支节点
		BNode* sub[M + 1];
	};
}BNode;
typedef struct
{
	struct BNode* root;//指向根
	struct BNode* first;//指向叶子结点第一个结构
	int cursize;
}BTree;

typedef struct
{
	struct BNode* pnode;	// 保存节点
	int index;			//保存关键码位置
	bool tag;			//是否有该值
}Result;

算法设计

插入算法

首先我们知道插入一个值得插入关键码和记录集吧；设计插入函数如

bool Insert(BTree& tree, KeyType kx, Record* rec)
{
 、、、、、、
}

我们对于刚刚定义的结构进行插入演示；示例{55 35 25 10 8 60 59 17 85 105 37 44 65}；

（1）首先插入的是55，因为B+树的插入只在叶子上进行，所以对于第一个值来说，此时我们先判断根节点是否为空，如果为空，我们得建立一个叶子结点，所以55一定会给叶子结点插入；

if (tree.root == nullptr)
	{
		BNode* s = BuyLeaf();//购买叶子结点
		s->key[0] = kx;
		s->recptr[0] = rec;
		s->num = 1;
		tree.root = tree.first = s;
		return true;
	}

（2）如果root不为空，我们就得查找kx应该插入的位置吧；对于查找位置分为两种情况，从根节点查找，和从叶子结点，还记得我们定义的最后一个结构体没；

从叶子结点查找的方式

需要注意的是，我们每次最好给一个节点的最后插入数据，如果找到的位置是节点的第一个值之前，如果该节点的前驱结点不空，我们就让其指向前驱结点的最后一个值；

Result FindLeaf(BNode* ptr, KeyType kx)
{
	Result res = { nullptr,-1,false };//初始化查找结构体
	BNode* p = ptr;
	while (p != nullptr && p->next != nullptr && kx > p->key[p->num - 1])//防止p等于NULLptr
	{
		p = p->next;
	}
	if (p == nullptr) return res;//如果为nullptr，则直接返回
	int pos = p->num - 1;//从0开始，所以走实际位置
	while (pos >= 0 && kx < p->key[pos])
	{
		--pos;
	}
	res.pnode = p;//记录找到的节点
	res.index = pos;//记录找到的位置
	if (pos < 0 && p->prev != nullptr)//如果是负数，则将其移动到前一个叶子结点，给前一个结点最后
	{
		res.pnode = p->prev;
		res.index = p->prev->num - 1;
	}
	else 	if (pos >= 0 && kx == p->key[pos])
	{
		res.tag = true;
	}
	return res;
}

从根节点查找的方式

思路：从根节点出发，一直找到叶子结点的第一个结构，再使用叶子查找方式；

Result FindRoot(BNode* ptr, KeyType kx)
{
	Result res = { nullptr,-1,false };
	BNode* p = ptr;
	while (p != nullptr && p->utype == BRCH)//找到第一个叶子结点；
	{
		p->key[0] = kx;
		int i = p->num;
		while (kx < p->key[i]) --i;
		p = p->sub[i];
	}

	res = FindLeaf(p, kx);//进行叶子方式查找

	return res;
}

我们现在知道两种方式的查找方式；那就根节点不为空，那就找位置呗；

	Result resr = FindRoot(tree.root, kx);//从根节点查找
	Result resf = FindLeaf(tree.first, kx);//从叶子结点查找
	if (resf.pnode == nullptr)//如果返回值为nullptr
	{
		cout << "Btree struct error " << endl;
		return false;
	}
	if (resf.tag)//如果tag==true则表明有该值
	{
		cout << "已经有该值了" << endl;
		return false;
	}
	BNode* ptr = resf.pnode;
	int pos = resf.index;
	Insert_Leaf_Item(ptr, pos, kx, rec);//进行插入

insert_Leaf_Item(ptr, pos, kx, rec);

那就开始写Insert_Leaf_Item(ptr, pos, kx, rec);代码吧；

void Insert_Leaf_Item(BNode* ptr, int  pos, KeyType  kx, Record* rec)
{
	for (int i = ptr->num - 1; i > pos; --i)//吧该位置的值依次往后移动,留下位置
	{
		ptr->key[i + 1] = ptr->key[i];
		ptr->recptr[i + 1] = ptr->recptr[i];
	}
	ptr->key[pos + 1] = kx;
	ptr->recptr[pos + 1] = rec;
	ptr->num += 1;//num++
}

现在给叶子节点已经插入完成了，但是新的问题出来了，会不会产生分裂？对于五阶B+树来说，每个节点最多四个关键码，第五个进入的时候就要进行分裂；先看图：

假设插入的节点指针是ptr吧；

首先判断ptr->num是否等于5，如果是，也就是关键码满了需要进行分裂；如图，

（1）将LEAFMIN后的值依次赋值给新建的叶子结构体的关键码0 1 2 位置；

（2）把ptr的前驱和后继改一下吧，右兄弟节点了；

（3）判断ptr->parent是否存在，如果不存在，也就是说没有双亲结点吧，那就建造一个分支节点，将ptr->next的0位置的值赋给新建的节点，并且改一下双亲指针，毕竟现在拥有双亲了；在改双亲的sub指针；

（4）如果ptr有双亲指针，也就是人家有爸爸，咋办，再判断，也许爸爸节点的关键码key达到五个了，也许要分裂，所以说慢慢来；

思路出来了 ，那就代码吧，首先判断一下：

if (ptr->num > LEAFMAX)
	{
		BNode* newroot = Splice_Leaf(ptr);
		if (newroot != nullptr)
		{
			tree.root = newroot;
		}
	}

如果分裂之后产生的节

现在开始写分裂代码BNode* Splice_Leaf(BNode* ptr)；

首先我们已经确定ptr节点已经满了，需要分裂，那就先买一个叶子结点；

BNode* s = BuyLeaf();

创建叶子结点的

创建叶子结点的代码简单，我直接给出

BNode* Buynode()
{
	BNode* s = (BNode*)malloc(sizeof(BNode));
	if (nullptr == s) exit(1);
	memset(s, 0, sizeof(BNode));
	return s;
}
BNode* BuyLeaf()
{
	BNode* s = Buynode();
	s->parent = nullptr;
	s->utype = LEAF;
	return s;
}

创建好叶子结点后，我们就要开始上图中的第一步，将ptr的关键码转移到性节点s上去：

KeyType kx = Move_Leaf_Item(s, ptr);

叶子节点分裂转移代码

开始写转移代码，将ptr从num到LEAFMIN的值转移到分裂的新节点s

KeyType Move_Leaf_Item(BNode* s, BNode* ptr)
{
	for (int i = 0, j = LEAFMIN; j < ptr->num; ++i, ++j)//循环给s节点赋值
	{
		s->key[i] = ptr->key[j];
		s->recptr[i] = ptr->recptr[j];
	}
	s->num = LEAFMIN;//配置s->num
	ptr->num = LEAFMIN;//更新ptr->num
	s->parent = ptr->parent;//两个节点的双亲指针是相同的，直接赋值
	s->next = ptr->next;//更新兄弟指针（next和prev）
	s->prev = ptr;
	ptr->next = s;
	if (s->next != nullptr)//如果原ptr有后继节点，也就是s是插入新节点，更新s->next
	{
		s->next->prev = s;
	}
	return s->key[0];
}

现在新节点s已经被设置好了，但是新的问题又来了，如图

 当加入60,70时，ptr满了，需要分裂，和上面一样首先创建新的叶子节点，然后看看双亲指针，发现人家不为空，那就不用创建新的了，直接添加就行了吧；

所以我们还得判断，如下

如果prt->parent==nullptr时，我们就去创建新的，如上上图一样；

如果ptr->parent!=nullptr时，我们该怎么办？直接插入，那分支节点也满了呢？

那就先说没满的情况吧；

    BNode* pa = ptr->parent;
	int pos = pa->num;
	pa->key[0] = kx; //
	while (pos > 0 && kx < pa->key[pos]) { --pos; }//找到对应的插入分支节点的位置
	Insert_Brch_Item(pa, pos, kx, s);

分支节点插入

开始分支节点插入的代码吧，很简单：

void Insert_Brch_Item(BNode* ptr, int pos, KeyType kx, BNode* right)
{
	for (int i = ptr->num; i > pos; --i)
	{
		ptr->key[i + 1] = ptr->key[i];
		ptr->sub[i + 1] = ptr->sub[i];
	}
	ptr->key[pos + 1] = kx;
	ptr->sub[pos + 1] = right;	 // right->parent;
	ptr->num += 1;
}

好了，快结束了。那如果我们给分支节点插入了一个值之后，pa->num=5了，是不是分支需要分裂了；看图：

  如图当ptr节点分裂时会产生新的节点qtr，和新的分支关键码，但是对于分支pa来说，已经达到5个值，需要分裂；

 如上图，pa分支节点，分裂为两个分支节点，如图

那代码还需要判断一下

	if (pa->num > BRCHMAX)
	{
		return Splice_Brch(pa);
	}
	else
	{
		return nullptr;
	}

现在开始写BNode* Splice_Brch(BNode* ptr)；

首先注意后面为递归形式，可以这样想，分裂之后是不是有两种情况

• （1）ptr->parent==nullptr要么产生一个一个新的分支节点，
• （2）ptr->parent!=nullptr，需要给ptr的双亲结点增加一个关键码，又有新的问题，如果增加的关键码导致该分支结构满了，又要分裂吧；所以用递归

BNode* Splice_Brch(BNode* ptr)
{
	BNode* s = BuyBrchnode();//创建一个分支节点
	KeyType kx = Move_Brch_Item(s, ptr);//移动分支节点的值
	if (ptr->parent == nullptr)
	{
		return MakeRoot(kx, ptr, s);//如果分支ptr->parent==nullptr得创建吧
	}

	BNode* pa = ptr->parent;
	int pos = pa->num;
	pa->key[0] = kx; //
	while (pos > 0 && kx < pa->key[pos]) { --pos; }
	Insert_Brch_Item(pa, pos, kx, s);
	if (pa->num > LEAFMAX)
	{
		return Splice_Brch(pa);
	}
	else
	{
		return nullptr;
	}
}

创建一个分支节点

BNode* BuyBrchnode()
{
	BNode* s = Buynode();
	s->parent = nullptr;
	s->utype = BRCH;
	return s;
}

移动分支节点的值

void Insert_Brch_Item(BNode* ptr, int pos, KeyType kx, BNode* right)
{
	for (int i = ptr->num; i > pos; --i)
	{
		ptr->key[i + 1] = ptr->key[i];
		ptr->sub[i + 1] = ptr->sub[i];
	}
	ptr->key[pos + 1] = kx;
	ptr->sub[pos + 1] = right;	 // right->parent;
	ptr->num += 1;
}

好了，插入代码到此结束了；

测试一下子23,33,12,10,48,50 如图所示，我们去看看编译器；

 测试如图