题目描述
这是 LeetCode 上的 1143. 最长公共子序列 ，难度为 中等。
Tag : 「最长公共子序列」、「LCS」、「序列 DP」
给定两个字符串 text1 和 text2，返回这两个字符串的最长 公共子序列 的长度。如果不存在 公共子序列 ，返回 $0$ 。
一个字符串的 子序列 是指这样一个新的字符串：它是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符（也可以不删除任何字符）后组成的新字符串。
- 例如，
"ace"是"abcde"的子序列，但"aec"不是"abcde"的子序列。
两个字符串的 公共子序列 是这两个字符串所共同拥有的子序列。
示例 1：
输入：text1 = "abcde", text2 = "ace"
输出：3
解释：最长公共子序列是 "ace" ，它的长度为 3 。示例 2：
输入：text1 = "abc", text2 = "abc"
输出：3
解释：最长公共子序列是 "abc" ，它的长度为 3 。示例 3：
输入：text1 = "abc", text2 = "def"
输出：0
解释：两个字符串没有公共子序列，返回 0 。提示：
- $1 <= text1.length, text2.length <= 1000$
text1和text2仅由小写英文字符组成。
动态规划（空格技巧）
这是一道「最长公共子序列（LCS）」的裸题。
对于这类题的都使用如下「状态定义」即可：
$f[i][j]$ 代表考虑 $s1$ 的前 $i$ 个字符、考虑 $s2$ 的前 $j$ 的字符，形成的最长公共子序列长度。
当有了「状态定义」之后，基本上「转移方程」就是呼之欲出：
s1[i]==s2[j]: $f[i][j]=f[i-1][j-1]+1$。代表必然使用 $s1[i]$ 与 $s2[j]$ 时 LCS 的长度。s1[i]!=s2[j]: $f[i][j]=max(f[i-1][j], f[i][j-1])$。代表必然不使用 $s1[i]$（但可能使用$s2[j]$）时 和 必然不使用 $s2[j]$（但可能使用$s1[i]$）时 LCS 的长度。
一些编码细节：
通常我会习惯性往字符串头部追加一个空格，以减少边界判断（使下标从 1 开始，并很容易构造出可滚动的「有效值」）。
Java 代码：
class Solution {
public int longestCommonSubsequence(String s1, String s2) {
int n = s1.length(), m = s2.length();
s1 = " " + s1; s2 = " " + s2;
char[] cs1 = s1.toCharArray(), cs2 = s2.toCharArray();
int[][] f = new int[n + 1][m + 1];
// 因为有了追加的空格，我们有了显然的初始化值（以下两种初始化方式均可）
// for (int i = 0; i <= n; i++) Arrays.fill(f[i], 1);
for (int i = 0; i <= n; i++) f[i][0] = 1;
for (int j = 0; j <= m; j++) f[0][j] = 1;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= m; j++) {
if (cs1[i] == cs2[j]) {
f[i][j] = f[i -1][j - 1] + 1;
} else {
f[i][j] = Math.max(f[i - 1][j], f[i][j - 1]);
}
}
}
// 减去最开始追加的空格
return f[n][m] - 1;
}
}C++ 代码：
class Solution {
public:
int longestCommonSubsequence(string s1, string s2) {
int n = s1.size(), m = s2.size();
s1 = " " + s1, s2 = " " + s2;
int f[n+1][m+1];
memset(f, 0, sizeof(f));
for(int i = 0; i <= n; i++) f[i][0] = 1;
for(int j = 0; j <= m; j++) f[0][j] = 1;
for(int i = 1; i <= n; i++) {
for(int j = 1; j <= m; j++) {
if(s1[i] == s2[j]) {
f[i][j] = max(f[i-1][j-1] + 1, max(f[i-1][j], f[i][j-1]));
} else {
f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i][j-1]);
}
}
}
return f[n][m] - 1;
}
};- 时间复杂度：$O(n \times m)$
- 空间复杂度：$O(n \times m)$
动态规划（利用偏移）
上述「追加空格」的做法是我比较习惯的做法
事实上，我们也可以通过修改「状态定义」来实现递推：
$f[i][j]$ 代表考虑 $s1$ 的前 $i - 1$ 个字符、考虑 $s2$ 的前 $j - 1$ 的字符，形成的最长公共子序列长度。
那么最终的 $f[n][m]$ 就是我们的答案，$f[0][0]$ 当做无效值，不处理即可。
s1[i-1]==s2[j-1]: $f[i][j]=f[i-1][j-1]+1$。代表使用 $s1[i-1]$ 与 $s2[j-1]$形成最长公共子序列的长度。s1[i-1]!=s2[j-1]: $f[i][j]=max(f[i-1][j], f[i][j-1])$。代表不使用 $s1[i-1]$ 形成最长公共子序列的长度、不使用 $s2[j-1]$ 形成最长公共子序列的长度。这两种情况中的最大值。
Java 代码：
class Solution {
public int longestCommonSubsequence(String s1, String s2) {
int n = s1.length(), m = s2.length();
char[] cs1 = s1.toCharArray(), cs2 = s2.toCharArray();
int[][] f = new int[n + 1][m + 1];
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= m; j++) {
if (cs1[i - 1] == cs2[j - 1]) {
f[i][j] = f[i - 1][j - 1] + 1;
} else {
f[i][j] = Math.max(f[i - 1][j], f[i][j - 1]);
}
}
}
return f[n][m];
}
}Python3 代码：
class Solution:
def longestCommonSubsequence(self, text1: str, text2: str) -> int:
m, n = len(text1), len(text2)
dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(m + 1)]
for i in range(1, m + 1):
for j in range(1, n + 1):
if text1[i - 1] == text2[j - 1]:
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1
else:
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j],dp[i][j - 1])
return dp[m][n]C++ 代码：
class Solution {
public:
int longestCommonSubsequence(string text1, string text2) {
int m = text1.size(), n = text2.size();
vector> dp(m + 1,vector(n + 1,0));
for(int i = 1; i <= m; i++){
for(int j = 1; j <= n; j++){
if(text1[i - 1] == text2[j - 1]){
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
}
else{
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j],dp[i][j - 1]);
}
}
}
return dp[m][n];
}
}; Golang 代码：
func longestCommonSubsequence(text1 string, text2 string) int {
m := len(text1)
n := len(text2)
dp := make([][]int, m+1)
for i := range dp {
dp[i] = make([]int, n+1)
}
for i := 0; i < m; i++ {
for j := 0; j < n; j++ {
if text1[i] == text2[j] {
dp[i+1][j+1] = dp[i][j] + 1
} else {
dp[i+1][j+1] = max(dp[i][j+1], dp[i+1][j])
}
}
}
return dp[m][n]
}
func max(i int, j int) int {
if i > j {
return i
}
return j
}- 时间复杂度：$O(n \times m)$
- 空间复杂度：$O(n \times m)$
最后
这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.1143 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。
在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。
为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码，我建立了相关的仓库：https://github.com/SharingSou... 。
在仓库地址里，你可以看到系列文章的题解链接、系列文章的相应代码、LeetCode 原题链接和其他优选题解。
更多更全更热门的「笔试/面试」相关资料可访问排版精美的 合集新基地
本文由mdnice多平台发布