常用算法的计算复杂度

穷举法 （Method of Exhaustion）

穷举法的计算复杂度就是穷举次数$N$。

二分法 （Bisection）

二分法的计算复杂度是 $\mathcal{O}({\log }_2(L_0/e))$ , 其中 $L_0$ 是最初的长度间隔，$e$ 是要求的精度。

线性规划（LP）

The complexity of a standard linear problem is of order $\mathcal{O}(a^{2}b)$, where $a$ is the number of variables and $b$ is the number of constraints.
For instance, the problem (P2.1) in ref [2], it is easy to show that the complexity of (P2.1) is of order $\mathcal{O}\left((MN+KN+K+KMN)(KM{)}^2\right)$.
Note that (P2.1) is a linear function which only consists of the scheduling variables.

• 变量个数：KM，为什么不是KMN？
• 约束(10) 的个数 $MN+KN$
• 约束(11) 的个数 $K$
• 约束(14) 的个数 $KMN$

半定规划（SDP）

解决半定规划问题的计算复杂度为 $\mathcal{O}((M+1{)}^{4.5})$，其中$M$代表变量个数 【8】。

逐次凸逼近（SCA）

SCA算法的计算复杂度和 “迭代次数（$I$）”，以及每次迭代中的 “更新变量的个数（$NK$）”有关；计算复杂度的表达式为 $\mathcal{O}(I(NK{)}^3)$.

块坐标下降（BCD）

BCD algorithm 即 Alternating algorithm.

• BCD算法的收敛要求每一个块的优化要达到最优解，而实际问题中每个块问题往往是非凸的，用凸优化技术SCA求解得到的往往是次优解，所以在证明算法的收敛性的时候，需要自行证明一下优化目标函数的非减、非增，证明是存在 upper bound 或 lower bound，如此可证明问题收敛。
• 当BCD算法的某个块问题是采用SCA算法来解决的，则该块算法的计算复杂度和解决单独问题的SCA算法一样：计算复杂度为 $\mathcal{O}(N^{3.5})$ 【1】，$N$为变量个数。
• 在保证问题收敛后，解决每个块问题的算法的复杂度进行相加，即为BCD算法的复杂度。
• 如果算法的外部有循环$N_{out}$时，还需要在内部循环算法复杂度的基础上乘以$N_{out}$。

内点法（Interior Point Method）

内点法的计算复杂度为 $\mathcal{O}(n^{3.5}\log (1/ϵ))$，其中 $n$ 为变量维度， $ϵ$ 为目标精度 【7】。

待整改

参考文献

【1】S. Boyd and L. Vandenberghe, Convex Optimization. Cambridge University Press, 2004.
【2】A. Bejaoui, K. Park and M. Alouini, “A QoS-Oriented Trajectory Optimization in Swarming Unmanned-Aerial-Vehicles Communications,” in IEEE Wireless Communications Letters, vol. 9, no. 6, pp. 791-794, June 2020, doi: 10.1109/LWC.2020.2970052.
【3】With Wireless Power Transfer," in IEEE Internet of Things Journal, vol. 8, no. 10, pp. 7833-7848, 15 May15, 2021, doi: 10.1109/JIOT.2020.3041303.
【4】C. Zhan and Y. Zeng, “Aerial–Ground Cost Tradeoff for Multi-UAV-Enabled Data Collection in Wireless Sensor Networks,” in IEEE Transactions on Communications, vol. 68, no. 3, pp. 1937-1950, March 2020, doi: 10.1109/TCOMM.2019.2962479.
【5】 R. Duan, J. Wang, C. Jiang, H. Yao, Y. Ren and Y. Qian, “Resource Allocation for Multi-UAV Aided IoT NOMA Uplink Transmission Systems,” in IEEE Internet of Things Journal, vol. 6, no. 4, pp. 7025-7037, Aug. 2019, doi: 10.1109/JIOT.2019.2913473.
【6】Q. Hu, Y. Cai, A. Liu, G. Yu and G. Y. Li, “Low-Complexity Joint Resource Allocation and Trajectory Design for UAV-Aided Relay Networks With the Segmented Ray-Tracing Channel Model,” in IEEE Transactions on Wireless Communications, vol. 19, no. 9, pp. 6179-6195, Sept. 2020, doi: 10.1109/TWC.2020.3000864.
【7】https://blog.csdn.net/weixin_39274659/article/details/121834231
【8】Luo Z Q , Ma W K , So M C , et al. Semidefinite Relaxation of Quadratic Optimization Problems[J]. IEEE Signal Processing Magazine, 2010, 27(3):20-34.