数字信号处理实验十一 有限长序列的线性卷积和圆周卷积

一、实验目的
1．通过实验加深对线性卷积和圆周卷积的认识．
2．知道如何用圆周卷积来计算线性卷积．

二、实验原理及方法
有限长序列卷积有两种形式：线性卷积和圆周卷积．时域圆周卷积在频域上为两序列的 DFT  相乘，因而有限长序列的圆周卷积可以在时域直接计算，也可以在频域中计算．由于 DFT 有快速算法(FFT)，当 
N 很大时在频域计算的速度上具有很大优越性．然而现实中要解决的实际问题是要计算两个有限长序列的线性卷积，如信号通过线性系统，系统的输出 y(n)
是输入信号 x(n)与系统抽样响应 h(n)的线性卷积： y(n) = x(n) * h(n) ,然而，在一定的条件下，可以使圆周卷积等于线性卷积。．
设 x1 (n) 和 x2 (n) 是两个长度分别为 M 和 N 的有限长序列，则其线性卷积为

y₁(n) = x₁(n) * x₂ (n)

y1 (n) 是一个长度为 L₁=N+M-1 点的有限长序列．

将 x₁(n) 和 x₂ (n) 均补零成 L 点的有限长序列，其中 L≥max(M,N),则其L 点的圆周卷积
为

 

由此可见，L 点的圆周卷积 y₂ (n) 是线性卷积 y₁(n) 以 L 为周期，进行周期延拓后在区间 0 到 L-1 范围内所取的主值序列．若 L≥L₁，则有 y1(n) = y2 (n) 。于是，可使得圆周卷积等于线性卷积而不产生混迭的充要条件是 L≥N+M-1。

三、实验内容
1、 若有两序列 x₁(n) = δ (n − 1) + 2δ (n − 1) + 3δ (n − 2) ,长度N₁=3;
                          x₂ (n) = 4δ (n) + 3δ (n − 1) + δ (n − 2) + δ (n − 1) ,长度N₂=4．

用 MATLAB 编程：
        1）计算两序列的线性卷积；
        2）分别计算两序列N=4，5，6，7，8 点的圆周卷积
参考流程图：

 四、实验报告要求
1．简述实验原理及目的．
2．给出所编制的程序，并绘出实验所得出的图形．
3．分析线性卷积和圆周卷积之间的关系。

clc;clear;
N1=3;N2=4;
n1=0:N1-1;n2=0:N2-1;
x1=zeros(1,N1);
x2=zeros(1,N2);
x1(2)=1+2;
x1(3)=3;
x2(1)=4;
x2(2)=3+1;
x2(3)=1;
y1=conv(x1,x2);
n01=min(n1)+min(n2);
n02=max(n1)+max(n2);
ny=[n01:n02];
subplot(421),stem(n1,x1,'.');title('x1(n)');
subplot(422),stem(n2,x2,'.');title('x2(n)');
subplot(423),stem(ny,y1,'.');title('线性卷积');
for N=4:8
n=0:N-1;
x3=zeros(1,N);x4=x3;
x3(find(n