（Codeforces801Div2）C.Zero Path(动态规划+思维)

题目链接：Problem - C - Codeforces

样例输入：

5
1 1
1
1 2
1 -1
1 4
1 -1 1 -1
3 4
1 -1 -1 -1
-1 1 1 -1
1 1 1 -1
3 4
1 -1 1 1
-1 1 -1 1
1 -1 1 1

样例输出：

NO
YES
YES
YES
NO

题意：给你一个包含n*m个小格子的矩形，每个小格子里面有一个数，这个数只可能是1和-1中的一个，问能不能找到一条从左上角到右下角的路径（对于每个点而言都只能向右或者向下移动）使得路径上所有小格子的数值之和为0.

分析：我们从坐上走到右下的路径长度是确定的，就是n+m-1,所以要想最后结果为0，那么n+m-1一定是一个偶数，否则就不可能存在满足题目要求的路径。只有满足了这个条件我们才有继续分析的必要，我们可以求出来到达(i,j)这个格子时所有路径中数值和的最大值和最小值，0一定是介于两者之间的，否则也不可能存在满足题目要求的路径，这是显然的，那么是不是只要0介于两者之间就一定有满足题意的一条路径存在呢？答案是YES，下面给出证明：

例如上面这两幅图片，我们对左边这副图片中的一个格子进行移动，那么就有可能发生1-->1,1-->-1,-1-->-1,-1-->1这四种变化中的一种，总的来说路径上各点权值和变化只可能是0，-2，2这三钟情况，而通过这种变换我们能够变换出来任意一条从左上角到右下角的路径，而假如我们从左上角到右下角的路径长度的最大值和最小值分别是mx和mn，那么从mx到mn的变化过程中一定会经过0，那么也就证明完毕了。

代码中需要注意几个点，一个是我们在更新第一行时一定不能用第0行，同样的，在更新第一列时也不能利用第0列，因为第0行和第0列的元素初始值都是0，举个简单的例子，更新(1,5)的元素，那么我们会用(1,4)和(0,5)这两个格子（但实际上只能由(1,4)这个格子转移过来），假如到达(1,4)这个格子的最小值是3，那么由于(0,5)其实是越界的，所以他的值一直是0，而我们如果用了0那么就会出现问题，所以这道题我们一定要注意越界的问题。还有一个问题就是初始化，因为我们只能一个格子一个格子进行比较，所以一开始初始值不能简单地认为是0，最大值应该初始化为负无穷大，而最小值应该初始化为正无穷大。

下面是代码：

#include
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
const int N=1e3+10;
int a[N][N];
int fx[N][N],fn[N][N];
//fx[i][j]表示从(1,1)到(i,j)所能得到的路径之和的最大值
//fn[i][j]表示从(1,1)到(i,j)所能得到的路径之和的最小值
int main()
{
	int T;
	cin>>T;
	while(T--)
	{
		int n,m;
		scanf("%d%d",&n,&m);
		for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=m;j++)
		{
			scanf("%d",&a[i][j]);
			fx[i][j]=-0x3f3f3f3f;
			fn[i][j]=0x3f3f3f3f;
			fx[1][1]=fn[1][1]=a[1][1];
			if(j>1)
				fx[i][j]=max(fx[i][j],a[i][j]+fx[i][j-1]);
			if(i>1)
				fx[i][j]=max(fx[i][j],a[i][j]+fx[i-1][j]);
			if(j>1)
				fn[i][j]=min(fn[i][j],a[i][j]+fn[i][j-1]);
			if(i>1)
				fn[i][j]=min(fn[i][j],a[i][j]+fn[i-1][j]);
		}
		if((n+m-1)&1) puts("NO");
		else if(fn[n][m]<=0&&fx[n][m]>=0) puts("YES");
		else puts("NO");
	}
	return 0;
}