神奇的莫比乌斯带(mobius)

1.禅师和青年之间的对话

2.制作一个莫比乌斯带

3.神奇的莫比乌斯带

4.对莫比乌斯带进行简单的数学建模

 

1.禅师和青年之间的对话

青年问禅师:“大师,我很爱我的女朋友,她也有很多优点,但是总有几个缺点让我非常讨厌,有什么什么方法能让她改变?” 禅师浅笑,答:“方法很简单,不过若想我教你,你需先下山为我找一张只有正面没有背面的纸回来。” 青年略一沉吟,掏出一个麦比乌斯环。

神奇的莫比乌斯带(mobius)_第1张图片

 

大师说,“刚才说的不算,你要找到一个没有里外的瓶子才行”。年轻人又默默的从怀里掏出了一个克莱因瓶。

神奇的莫比乌斯带(mobius)_第2张图片

 

 

2.制作一个莫比乌斯带

    其实,可以自己做一个莫比乌斯带,只需要那一个纸条,然后旋转180度,最后"粘合"两个两端,就成了一个莫比乌斯带。如下:

神奇的莫比乌斯带(mobius)_第3张图片

旋转180度后,粘合纸片的两端,形成一个莫比乌斯带,如下:

神奇的莫比乌斯带(mobius)_第4张图片

3.神奇的莫比乌斯带

     莫比乌斯带,有许多神奇的特性,比如用一个剪子从纸片的二分之一处一直剪到尾部,最终是会形成两个分离的莫比乌斯带还是?老实说,我第一次是一位会分离成两个独立的莫比乌斯环。

    结果是,剪开会最终还是一个完整的环,并且这个新的环不是莫比乌斯带,而是一个旋转了360度的环。其实可以亲手做一下,只是由于手上没有剪刀不容易演示这个。

    如果此时在沿着这个新的环中间剪开,会发现,竟然形成了两个环,并且其中的一个套着另一个,太不可思议了....

    更神奇的是,对于一个莫比乌斯环,如果不从中间剪开,而是从三分之一处剪开,结果竟然是......可以亲自试一下。

4.对莫比乌斯带的简单建模

     一个纸片,经过某种变形之后,形成了一个新的图形,莫比乌斯带。

   对莫比乌斯带进行完整的建模需要用到许多拓扑学里面的概念,譬如等价关系,等价类,商集,拓扑空间,拓扑变换,商空间等等,因此下面只是一个简单的建模,有助于形象化理解。OK, 开始抽象吧。

1)对纸片抽象

    由于纸片是一个物理实体,不方便对他进行数学描述。因此,可以考虑将纸片放到一个二维笛卡尔坐标系里面进行研究,这样,一个纸片实际上就是笛卡尔坐标系里面的一些点的集合,此时,我们就可以用诸如(x,y)这样的数学符号来描述了。同时,为了研究的方便,先从最简单的情况入手,使用一个变成为1的正方形来代替纸片,如下:

   神奇的莫比乌斯带(mobius)_第5张图片

 

现在考虑怎么将这个正方形变换成一个莫比乌斯带(严格的说并不正确,因为莫比乌斯带只能在三维空间里面观看。这里是从拓扑学的角度来看的,既将正方形变换成了一个新的拓扑空间(商空间),这个新的拓扑空间具有和莫比乌斯带一样的性质,既这个新的拓扑空间和莫比乌斯带同胚,同时,由于这是一个拓扑空间,所以我们不关于这个拓扑空间的大小,形状等因素,这就是拓扑学的好处,对问题进行了高度的抽象,从而使你只关心问题本身,而不忽略掉其他次要的外界因素)

2.对变换进行抽象

注意:这里的变换就是拓扑学里面的一个等价关系

要将上述图形变换成一个莫比乌斯带,只需将(0,1)和(1,0)两点看成一个点,将(0,0.9)和(0.9,0)看成一个点... ... 将(0,0)和(1,1)看成一个点。发现了这个规律之后,我们将这个规律一般化,就是将(0,y)和(1,1-y)看成粘合成一个点。

3.结果

  变换后的结果就是一个莫比乌斯带(和莫比乌斯带同胚的一个拓扑空间)

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