王树尧老师运筹学课程笔记 07 线性规划与单纯形法（标准型、基、基解、基可行解、可行基）

第7讲 线性规划与单纯形法（标准型、基、基解、基可行解、可行基）

线性规划问题的标准形式

将约束条件由弱约束变为强约束，将不等式组变为了方程组，降低了求解的难度。

对于一般的线性规划问题，容易得到：

目标函数$\max (\min )z=c_1{x}_1+c_2{x}_2+\cdots +c_n{x}_n$

约束条件 $\left\{\begin{array}{c}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n⩽(=,⩾)b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n⩽(=,⩾)b_2\\ ⋮\\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\cdots +a_{mn}{x}_n⩽(=,⩾)b_m\\ x_1,x_2,\cdots ,x_n⩾0\end{array}\right\}$

通过恒等变形将一般形式化为标准形式，以方便之后的求解。

1. 目标函数需要化为$max$。若原本的目标函数是$min$，则令$z^{{}^{\prime }}=-z$，然后求$max{z}^{{}^{\prime }}$。
2. $b_i$需要化为$>0$。如果$b_i<0$则不等式两边同时添负号。如果$b_i=0$则表示出现了退化，一般不会遇到。
3. 约束条件需要化为$=$。若原本的约束条件是$\le$，则约束条件变为原本的约束条件减去一个新的非负变量（松弛变量）。若原本的约束条件是$\ge$，则约束条件变为原本的约束条件加上一个新的非负变量（剩余变量）。（这一步的目的是将弱约束条件变为强约束条件，便于求解方程，代价是引入了额外的变量，提高了方程的维数。）
4. 变量需要化为$\ge 0$。若原本的变量是$=0$，则直接改为$\ge 0$，但实际上这种情况并不会出现，因为如果变量$=0$，那么改变量就不会在目标函数和约束条件中出现。若原本的变量是$\le 0$，则令$x_i^{{}^{\prime }}=-x_i$，并令$x_i^{{}^{\prime }}\ge 0$，同时目标函数和约束条件中进行替换。若原本的变量没有约束（$\in$R），则令$x_i=x_i^{{}^{\prime }}-x_i^{{}^{\prime \prime }}$，并令$x_i^{{}^{\prime }}\ge 0x_i^{{}^{\prime \prime }}\ge 0$，同时目标函数和约束条件中进行替换。
5. 规范书写目标函数。在形式上调整目标函数，把新引入的变量写回目标函数中。虽然其价值系数为0，但是也要写出来。

线性规划的解的讨论

首先将线性规划问题的标准形式写成矩阵形式。

$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right)=\left({\mathbf{P}}_1,{\mathbf{P}}_2,\cdots ,{\mathbf{P}}_n\right);\mathbf{O}=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right]$

$\mathbf{X}=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right];\mathbf{b}=\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ ⋮\\ b_m\end{array}\right]$$;\mathbf{C}=\left(c_1,c_2,\cdots ,c_n\right)$

线性规划问题可以用矩阵描述为：

$\max z=\mathbf{C}\mathbf{X}$
$\mathbf{A}\mathbf{X}=\mathbf{b}$
$\mathbf{X}⩾0$

可行解

满足约束条件式$\mathbf{A}\mathbf{X}=\mathbf{b}$、$\mathbf{X}⩾0$的解称为线性规划的可行解，其中使目标函数达到最大值的可行解称为最优解。

基

设$A$是约束方程组的$m\times n(m<n)$维系数矩阵，其秩为$m$。$B$是矩阵$A$中$m\times m$阶子矩阵，其中$B$的列向量都是线性独立的，且$|B|=0$，则称矩阵$B$是线性规划问题的一个基。

$B$中的$P_i$称为基向量，不在$B$中的$P_i$称为非基向量。假设前$m$个变量的系数列向量是线性独立的，用这些向量构成矩阵$B$，那么约束条件$\mathbf{A}\mathbf{X}=\mathbf{b}$可以写成：

$\begin{array}{rl}& \left(\begin{array}{c}{a}_{11}\\ a_{21}\\ ⋮\\ a_{m1}\end{array}\right)x_1+\left(\begin{array}{c}{a}_{12}\\ a_{22}\\ ⋮\\ a_{m2}\end{array}\right)x_2+\cdots +\left(\begin{array}{c}{a}_{1m}\\ a_{2m}\\ ⋮\\ a_{mm}\end{array}\right)x_m=\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ ⋮\\ b_m\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}{a}_{1,m+1}\\ a_{2,m+1}\\ ⋮\\ a_{m,m+1}\end{array}\right)x_{m+1}-\cdots -\left(\begin{array}{c}{a}_{1n}\\ a_{2n}\\ ⋮\\ a_{mn}\end{array}\right)x_n\end{array}$

现若令上式的非基变量$x_{m+1}=x_{m+2}=\cdots =x_n=0$，这时变量的个数等于线性方程的个 数。用高斯消去法，可以求出一个解$\mathbf{X}={\left(x_1,x_2,\cdots ,x_m,0,\cdots ,0\right)}^{\mathrm{T}}$，将这个解称为基解（注意基解是$n$维的，而不是$m$维的。）。由此可见有一个基就可以求出一个基解。

基可行解

满足非负条件约束$\mathbf{X}⩾0$的基解称为基可行解。

可行基

可行解对应的基称为可行基。

基解和基可行解的几何意义

基解的几何意义是：强约束方程的交点。

基可行解的几何意义是：强约束方程的交点（基解），并且是可行域中的点。（换言之即可行域的顶点。）

此处读者可以自行举一个例子，并在图中画出来，然后在图中找出可行解、基可行解、基解和非可行解分别是哪一部分。

基解、可行解和基可行解的关系

上述几种解之间的包含关系可以用下图表示：

由基可行解求最优解

综上所述，找出所有的基，然后得到所有的基可行解，其对应的函数值中最大的就是最优解。当然，这种方法属于枚举法，而在之后的学习中可以通过一定的顺序比较基可行解对应的函数值，也就是单纯形法，这样就可以用比较少的对比次数找出最优解。

总结

为了方便寻找可行解，需要先把线性规划问题化为标准型，主要需要对目标函数、自由项、弱约束条件、自变量进行处理。

对于约束方程组，可以用线性代数的思想进行处理，找到系数矩阵的基，令非基变量为0，可以得到一个由基变量构成的方程组，可以解出唯一解，然后据此得到基解。一个系数矩阵可能有若干个基，每一个基都可以得到一个基解，若基解满足$\mathbf{X}⩾0$，则该基解还是基可行解，可行解对应的基称为可行基。基可行解对应的函数值中最大的就是最优解。

基可行解的几何意义是可行域的顶点。

可行解和基解的交集为基可行解。

在之后的学习中可以通过一定的顺序比较基可行解对应的函数值，这样就可以用比较少的对比次数找出最优解。