【第29天】给定一个整数 n ，请你求出它的因子数 | 约数个数定理

本文已收录于专栏 《Java入门一百例》

序、专栏前言

   本专栏开启，目的在于帮助大家更好的掌握学习Java，特别是一些Java学习者难以在网上找到系统地算法学习资料帮助自身入门算法，同时对于专栏内的内容有任何疑问都可在文章末尾添加我的微信给你进行一对一的讲解。
   但最最主要的还是需要独立思考，对于本专栏的所有内容，能够进行完全掌握，自己完完全全将代码写过一遍，对于算法入门肯定是没有问题的。
   算法的学习肯定不能缺少总结，这里我推荐大家可以到高校算法社区将学过的知识进行打卡，以此来进行巩固以及复习。
  学好算法的唯一途径那一定是题海战略，大量练习的堆积才能练就一身本领。专栏的任何题目我将会从【题目描述】【解题思路】【模板代码】【代码解析】等四板块进行讲解。

一、【例题1】

1、题目描述

  给定一个整数 $n(1\le n\le 100000)$，请你求出它的因子数量。

2、解题思路

• $(1)$我们可以联想到之前判断质数的文章，因为质数的判定也是看一个数的因子数，那时就已经写出了$O(n)$和一个$O(\sqrt{n})$的做法。

3、模板代码

1.O(n)做法

import java.util.*;

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc=new Scanner(System.in);
        int n=sc.nextInt();
        int ans=0;
        for (int i = 1; i <=n; i++) {
            if (n%i==0) ans++;
        }
        System.out.println(ans);
    }
}

2.根号n做法

import java.util.*;
public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc=new Scanner(System.in);
        int n=sc.nextInt();
        int ans=0;
        for (int i = 1; i <=n/i; i++) {
            if (n%i==0){
                if (i!=n/i) ans+=2;
                else ans++;
            }
        }
        System.out.println(ans);
    }
}

3.约数个数定理

import java.util.*;

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc=new Scanner(System.in);
        int n=sc.nextInt();
        System.out.println(getsum(n));
    }
    static int getsum(int n){
        int ans=1;
        for (int i = 2; i <=n/i; i++) {
            if (n%i==0){
                int a=0;
                while (n%i==0){
                    a++;
                    n/=i;
                }
                ans*=(a+1);
            }
        }
        if (n>1) ans*=2;
        return ans;
    }
}

4、代码解析

• $(1)$前两种方法在这不讲，在第$5$天的质数判定中讲解过，重点讲一下约数个数定理。
• $(2)$对于一个大于$1$的整数$n$，可以分解质因数
  $$n=\prod _{i=1}^k{p}_i^{a^i}=p_1^{a^1}\times p_2^{a^2}\times p_3^{a^3}......p_k^{a^k}$$
  则$n$的正约数个数为$f(n)={\prod }_{i=1}^k(a_i+1)=(a_1+1)(a_2+1)...(a_k+1)。$
  其中$a_1、a_2、a_3...a_k$是$p_1、p_2、p_3、...p_k$的指数。
• $(3)$定理证明：对于$n$，我们有：$n=p_1^{a^1}\times p_2^{a^2}\times p_3^{a^3}......p_k^{a^k}$
  对于$n$的任意一个约数$d$，则有$d=p_1^{{}^{\beta }1}\times p_2^{{\beta }^2}\times p_3^{{\beta }^3}......p_k^{{\beta }^k}$，其中$(0\le {\beta }_i\le a_i)$，每一个${\beta }_i$的取值总共有$(a_i+1)个$。每一项的${\beta }_i$不同，则约数就不相同。${\beta }_1$的范围是$[0,a_1]$,${\beta }_2$的范围是$[0,a_i]$，${\beta }_k$的去取值范围是$[0,a_k]$。
• $(4)$根据乘法原理，$n$的约数个数$f(n)=(a_1+1)(a_2+1)...(a_k+1)$
  

三、推荐专栏

《零基础学算法100天》

四、课后习题

序号	题目链接	难度评级
1	丑数	2

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