什么是最短路径问题
如果从图中某一顶点(称为源点)到达另一顶点(称为终点)的路径可能不止一条,如何找到一条路径使得沿此路径上各边上的权值总和达到最小。
单源最短路径问题是指对于给定的图G=(V,E),求源点v0到其它顶点vt的最短路径。
Dijkstra算法
Dijkstra算法用于计算一个节点到其他节点的最短路径。Dijkstra是一种按路径长度递增的顺序逐步产生最短路径的方法,是一种贪婪算法。
Dijkstra算法的核心思想是首先求出长度最短的一条最短路径,再参照它求出长度次短的一条最短路径,依次类推,直到从源点v0到其它各顶点的最短路径全部求出为止。
具体来说:图中所有顶点分成两组,第一组是已确定最短路径的顶点,初始只包含一个源点,记为集合S;第二组是尚未确定最短路径的顶点,记为集合U。
按最短路径长度递增的顺序逐个把U中的顶点加到S中去,同时动态更新U集合中源点到各个顶点的最短距离,直至所有顶点都包括到S中。
实现思路
1.初始时,S集合只包含起点v0;U集合包含除v0外的其他顶点vt,且U中顶点的距离为起点v0到该顶点的距离。(U 中顶点vt的距离为(v0,vt)的长度,如果v0和vt不相邻,则vt的最短距离为∞)
2.从U中选出距离最短的顶点vt′,并将顶点vt′加入到S中;同时,从U中移除顶点vt′。
3.更新U中各个顶点vt到起点v0的距离以及最短路径中当前顶点的前驱顶点。之所以更新U中顶点的距离以及前驱顶点是由于上一步中确定了vt′是求出最短路径的顶点,从而可以利用vt′来更新U中其它顶点vt的距离,因为存在(v0,vt)的距离可能大于(v0,vt')+(vt',vt)距离的情况,从而也需要更新其前驱顶点
4.重复步骤(2)和(3),直到遍历完所有顶点
案例分析
代码实现
使用了部分C++11特性,注释丰富,读起来应该不会太困难!
#include#include #include #include #include
using namespace std; using Matrix = vector >; // 连接矩阵(使用嵌套的vector表示) using SNodes = vector >; // 已计算出最短路径的顶点集合S(类似一个动态数组) using UNodes = list >; // 未进行遍历的顶点集合U(使用list主要是方便元素删除操作) using ENode = tuple ; // 每个节点包含(顶点编号,当前顶点到起始点最短距离,最短路径中当前顶点的上一个顶点)信息 /*** * 从未遍历的U顶点集合中找到下一个离起始顶点距离最短的顶点 * @param unvisitedNodes 未遍历的U顶点集合 * 每个元素是(顶点编号,当前顶点到起始点最短距离,最短路径中当前顶点的上一个顶点)的tuple * @return 下一个离起始顶点距离最短的顶点 */ ENode searchNearest(const UNodes &unvisitedNodes) { uint minDistance = UINT_MAX; ENode nearest; for (const auto &node: unvisitedNodes) { if (get<1>(node) <= minDistance) { minDistance = get<1>(node); nearest = node; } } return nearest; } /*** * 迪克斯特拉算法的实现 * @param graph 连接矩阵(使用嵌套的vector表示) * @param startNodeIndex 起始点编码(从0开始) * @return 返回一个vector,每个元素是到起始顶点的距离排列的包含(顶点编号,当前顶点到起始点最短距离,最短路径中当前顶点的上一个顶点)的tuple */ SNodes dijkstra(const Matrix &graph, uint startNodeIndex) { const uint numOfNodes = graph.size(); // 图中顶点的个数 // S是已计算出最短路径的顶点的集合(顶点编号,当前顶点到起始点最短距离,最短路径中当前顶点的上一个顶点) SNodes visitedNodes; // U是未计算出最短路径的顶点的集合(其中的key为顶点编号,value为到起始顶点最短距离和最短路径中上一个节点编号组成的pair) UNodes unvisitedNodes; // 对S和U集合进行初始化,起始顶点的距离为0,其他顶点的距离为无穷大 // 最短路径中当前顶点的上一个顶点初始化为起始顶点,后面会逐步进行修正 for (auto i = 0; i < numOfNodes; ++i) { if (i == startNodeIndex) visitedNodes.emplace_back(i, 0, startNodeIndex); else unvisitedNodes.emplace_back(i, graph[startNodeIndex][i], startNodeIndex); } while (!unvisitedNodes.empty()) { // 从U中找到距离起始顶点距离最短的顶点,加入S,同时从U中删除 auto nextNode = searchNearest(unvisitedNodes); unvisitedNodes.erase(find(unvisitedNodes.begin(), unvisitedNodes.end(), nextNode)); visitedNodes.emplace_back(nextNode); // 更新U集合中各个顶点的最短距离以及最短路径中的上一个顶点 for (auto &node: unvisitedNodes) { // 更新的判断依据就是起始顶点到当前顶点(nextNode)距离加上当前顶点到U集合中顶点的距离小于原来起始顶点到U集合中顶点的距离 // 更新最短距离的时候同时需要更新最短路径中的上一个顶点为nextNode if (graph[get<0>(nextNode)][get<0>(node)] != UINT_MAX && graph[get<0>(nextNode)][get<0>(node)] + get<1>(nextNode) < get<1>(node)) { get<1>(node) = graph[get<0>(nextNode)][get<0>(node)] + get<1>(nextNode); get<2>(node) = get<0>(nextNode); } } } return visitedNodes; } /*** * 对使用迪克斯特拉算法求解的最短路径进行打印输出 * @param paths vector表示的最短路径集合 * 每个元素是到起始顶点的距离排列的包含(顶点编号,当前顶点到起始点最短距离,最短路径中当前顶点的上一个顶点)的tuple */ void print(const SNodes &paths) { stack tracks; //从尾部出发,使用stack将每个顶点的最短路径中的前一个顶点入栈,然后出栈的顺序就是最短路径顺序 // 第一个元素是起始点,从第二个元素进行打印输出 for (auto it = ++paths.begin(); it != paths.end(); ++it) { // 打印头部信息 printf("%c -> %c:\t Length: %d\t Paths: %c", char(get<0>(paths[0]) + 65), char(get<0>(*it) + 65), get<1>(*it), char(get<0>(paths[0]) + 65)); auto pointer = *it; // 如果当前指针pointer指向的节点有中途节点(判断的条件是最短路径中的前一个节点不是起始点) while (get<2>(pointer) != get<0>(paths[0])) { tracks.push(get<0>(pointer)); // Lambda表达式,使用find_if函数把当前顶点的前一个顶点从paths中找出来继续进行循环直到前一个节点就是起始点 auto condition = [pointer](tuple x) { return get<0>(x) == get<2>(pointer); }; pointer = *find_if(paths.begin(), paths.end(), condition); } tracks.push(get<0>(pointer)); // 以出栈的顺序进行打印输出 while (!tracks.empty()) { printf(" -> %c", char(tracks.top() + 65)); tracks.pop(); } printf("\n"); } } int main() { Matrix graph = { {0, 12, UINT_MAX, UINT_MAX, UINT_MAX, 16, 14}, {12, 0, 10, UINT_MAX, UINT_MAX, 7, UINT_MAX}, {UINT_MAX, 10, 0, 3, 5, 6, UINT_MAX}, {UINT_MAX, UINT_MAX, 3, 0, 4, UINT_MAX, UINT_MAX}, {UINT_MAX, UINT_MAX, 5, 4, 0, 2, 8}, {16, 7, 6, UINT_MAX, 2, 9, 9}, {14, UINT_MAX, UINT_MAX, UINT_MAX, 8, 9, 0} }; // 图对应的连接矩阵 auto results = dijkstra(graph, uint('D' - 65)); // 选取顶点C(大写字母A的ASCII编码是65) print(results); // 打印输出结果 return 0; }
运行结果:
D -> C: Length: 3 Paths: D -> C
D -> E: Length: 4 Paths: D -> E
D -> F: Length: 6 Paths: D -> E -> F
D -> G: Length: 12 Paths: D -> E -> G
D -> B: Length: 13 Paths: D -> C -> B
D -> A: Length: 22 Paths: D -> E -> F -> A
以上就是详解Dijkstra算法原理及其C++实现的详细内容,更多关于C++ Dijkstra算法的资料请关注脚本之家其它相关文章!