【C深度解剖】负数（取余&取模）

一、数学取整

注：这些函数在中

1）trunc函数

作用：直接去除数字的小数部分,返回整数部分。

    printf("%.1f\n", trunc(-2.9));  //-2
	printf("%.1f\n", trunc(2.9));   //2

本质是向零取整：

2）floor函数

作用:本质是向-∞取整

    printf("%.1f\n", floor(-2.9)); //-3 
    printf("%.1f\n", floor(-2.1)); //-3 
    printf("%.1f\n", floor(2.9)); //2 
    printf("%.1f\n", floor(2.1)); //2

3）ceil函数

作用：本质是向+∞取整

    printf("%.1f\n", ceil(-2.9)); //-2 
    printf("%.1f\n", ceil(-2.1)); //-2 
    printf("%.1f\n", ceil(2.9)); //3 
    printf("%.1f\n", ceil(2.1)); //3

4）round函数

作用：四舍五入

    printf("%.1f\n", round(2.1)); //2
    printf("%.1f\n", round(-2.1));//-2
    printf("%.1f\n", round(2.9)); //3
    printf("%.1f\n", round(-2.9));//-3

5）总结

	const char* format = "%.1f \t%.1f \t%.1f \t%.1f \t%.1f\n";
	printf("value\tround\tfloor\tceil\ttrunc\n"); 
	printf("-----\t-----\t-----\t----\t-----\n");
	printf(format, 2.3, round(2.3), floor(2.3), ceil(2.3), trunc(2.3));
	printf(format, 3.8, round(3.8), floor(3.8), ceil(3.8), trunc(3.8)); 
	printf(format, 5.5, round(5.5), floor(5.5), ceil(5.5), trunc(5.5)); 
	printf(format, -2.3, round(-2.3), floor(-2.3), ceil(-2.3), trunc(-2.3));
	printf(format, -3.8, round(-3.8), floor(-3.8), ceil(-3.8), trunc(-3.8));
	printf(format, -5.5, round(-5.5), floor(-5.5), ceil(-5.5), trunc(-5.5));

二、取模与取余

1）初步了解

取模概念：

如果a和d是两个自然数，d非零，可以证明存在两个唯一的整数 q 和 r，满足 a = q*d + r 且0 ≤ r < d。其中，q 被称为商，r 被称为余数。

    int a = 10; 
    int d = 3; 
    printf("%d\n", a%d); //结果是1
    //因为：a=10,d=3,q=3,r=1 0<=r
    //所以：a = q*d+r -> 10=3*3+1

我们对于正数十分熟悉，那么负数呢？
①C语言 vs2019

   int a = -10;
   int d = 3;
   printf("%d\n", a/d); //C语言中是-3，很好理解
   printf("%d\n", a%d);

结果是 -1
②C语言 gcc 4.8.5
结果是 -1
③Python 3.7.3
结果是 2

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结论：很显然，上面关于取模的定义，并不能满足语言上的取模运算

因为在C中，现在-10%3出现了负数，根据定义：满足 a = q*d + r 且0 ≤ r < d，C语言中的余数，是不满足定义的， 因为，r<0了。

故，大家对取模有了一个修订版的定义： 如果a和d是两个自然数，d非零，可以证明存在两个唯一的整数 q 和 r，满足 a = q*d + r , q 为整数，且0 ≤ |r| < |d|。其中，q 被称为商，r 被称为余数

有了这个新的定义，那么C中或者Python中的“取模”，就都能解释了。

解释C: -10 = (-3) * 3 + (-1)
解释Python：-10 = （-4）* 3 + 2。
所以，在不同语言，同一个计算表达式，负数“取模”结果是不同的。我们可以称之为分别叫做正余数 和 负余数

2）二者区别

取余和取模一样吗？ 这两个并不能严格等价(虽然大部分情况差不多)
取余或者取模，都应该要算出商，然后才能得出余数。

本质 1 取整：
取余：尽可能让商，进行向0取整。
取模：尽可能让商，向-∞方向取整。
故：C中%,本质其实是取余。 Python中%，本质其实是取模。
理解链：
对任何一个大于0的数，对其进行0向取整和-∞取整，取整方向是一致的。故取模等价于取余
对任何一个小于0的数，对其进行0向取整和-∞取整，取整方向是相反的。故取模不等价于取余
同符号数据相除，得到的商，一定是正数（正数vs正整数），即大于0！
故，在对其商进行取整的时候，取模等价于取余。
本质 2 符号：
参与取余的两个数据，如果同符号，取模等价于取余

如果异号呢？
重新看看定义： 如果a和d是两个自然数，d非零，可以证明存在两个唯一的整数 q 和 r，满足 a = q*d + r , q 为整数，且0 ≤ |r| < |d|。其中，q 被称为商，r 被称为余数。

a = qd + r 变换成 r = a - qd 变换成 r = a + (-qd) 对于：x = y + z，这样的表达式，x的符号 与 |y|、|z|中大的数据一致
而r = a + (-qd)中，|a| 和 |-q*d|的绝对值谁大，取决于商q的取整方式。
c是向0取整的，也就是q本身的绝对值是减小的。

如：
-10/3=-3.333.33 向0取整 -3. a=-10 |10|, -q* d=-(-3)* 3=9 |9|
10/-3=-3.333.33 向0取整 -3. a=10 |10|, -q* d=-(-3)*(-3)=-9 |9|
绝对值都变小了

python是向-∞取整的，也就是q本身的绝对值是增大的。
-10/3=-3.333.33 向-∞取整 -4. a=-10 |10|, -q * d=-(-4)* 3=12 |12|
10/-3=–3.333.33 向-∞取整 -4. a=10 |10|, -q*d=-(-4) * (-3)=-12 |12|
绝对值都变大了

结论：如果参与取余的两个数据符号不同，在C语言中(或者其他采用向0取整的语言如：C++，Java)，余数符号，与被除数 相同。

3）结论

1） 浮点数(或者整数相除)，是有很多的取整方式的。
2）如果a和d是两个自然数，d非零，可以证明存在两个唯一的整数 q 和 r，满足 a = q*d + r , q 为整数，且0 ≤ |r|< |d|。其中，q 被称为商，r 被称为余数。
3）在不同语言，同一个计算表达式，“取模”结果是不同的。我们可以称之为分别叫做正余数 和 负余数
3）具体余数r的大小，本质是取决于商q的。而商，又取决于除法计算的时候，取整规则。
4）取余vs取模： 取余尽可能让商，进行向0取整。取模尽可能让商，向-∞方向取整。
5）参与取余的两个数据，如果同符号，取模等价于取余
6）如果参与取余的两个数据符号不同，在C语言中(或者其他采用向0取整的语言如：C++，Java)，余数符号，与被除数相同。（因为采用的向0取整）