einsum is all you needed

如果问pytorch中最强大的一个数学函数是什么？

我会说是torch.einsum：爱因斯坦求和函数。

它几乎是一个"万能函数"：能实现超过一万种功能的函数。

不仅如此，和其它pytorch中的函数一样，torch.einsum是支持求导和反向传播的，并且计算效率非常高。

einsum 提供了一套既简洁又优雅的规则，可实现包括但不限于：内积，外积，矩阵乘法，转置和张量收缩（tensor contraction）等张量操作，熟练掌握 einsum 可以很方便的实现复杂的张量操作，而且不容易出错。

尤其是在一些包括batch维度的高阶张量的相关计算中，若使用普通的矩阵乘法、求和、转置等算子来实现很容易出现维度匹配等问题，但换成einsum则会特别简单。

套用一句深度学习paper标题当中非常时髦的话术，torch.einsum is all you needed ！

公众号后台回复关键词：einsum，获取本文源代码链接。

一，einsum规则原理

顾名思义，einsum这个函数的思想起源于家喻户晓的小爱同学：爱因斯坦~。

很久很久以前，小爱同学在捣鼓广义相对论。广义相对论表述各种物理量用的都是张量。

比如描述时空有一个四维时空度规张量，描述电磁场有一个电磁张量，描述运动的有能量动量张量。

在理论物理学家中，小爱同学的数学基础不算特别好，在捣鼓这些张量的时候，他遇到了一个比较头疼的问题：公式太长太复杂了。

有没有什么办法让这些张量运算公式稍微显得对人类友好一些呢，能不能减少一些那种扭曲的求和符号呢？

小爱发现，求和导致维度收缩，因此求和符号操作的指标总是只出现在公式的一边。

例如在我们熟悉的矩阵乘法中

k这个下标被求和了，求和导致了这个维度的消失，所以它只出现在右边而不出现在左边。

这种只出现在张量公式的一边的下标被称之为哑指标，反之为自由指标。

小爱同学脑瓜子滴溜一转，反正这种只出现在一边的哑指标一定是被求和求掉的，干脆把对应的求和符号省略得了。

这就是爱因斯坦求和约定：

只出现在公式一边的指标叫做哑指标，针对哑指标的求和符号可以省略。

公式立刻清爽了很多。

这个公式表达的含义如下：

C这个张量的第i行第j列由这个张量的第i行第k列和这个张量的第k行第j列相乘，这样得到的是一个三维张量, 其元素为，然后对在维度k上求和得到。

公式展现形式中除了省去了求和符号，还省去了乘法符号(代数通识)。

借鉴爱因斯坦求和约定表达张量运算的清爽整洁，numpy、tensorflow和 torch等库中都引入了 einsum这个函数。

上述矩阵乘法可以被einsum这个函数表述成

C = torch.einsum("ik,kj->ij",A,B)

这个函数的规则原理非常简洁，3句话说明白。

• 1，用元素计算公式来表达张量运算。

• 2，只出现在元素计算公式箭头左边的指标叫做哑指标。

• 3，省略元素计算公式中对哑指标的求和符号。

import torch 

A = torch.tensor([[1,2],[3,4.0]])
B = torch.tensor([[5,6],[7,8.0]])

C1 = A@B
print(C1)

C2 = torch.einsum("ik,kj->ij",[A,B])
print(C2)

tensor([[19., 22.],
        [43., 50.]])
tensor([[19., 22.],
        [43., 50.]])

二，einsum基础范例

einsum这个函数的精髓实际上是第一条:

用元素计算公式来表达张量运算。

而绝大部分张量运算都可以用元素计算公式很方便地来表达，这也是它为什么会那么神通广大。

例1，张量转置

#例1，张量转置
A = torch.randn(3,4,5)

#B = torch.permute(A,[0,2,1])
B = torch.einsum("ijk->ikj",A) 

print("before:",A.shape)
print("after:",B.shape)

before: torch.Size([3, 4, 5])
after: torch.Size([3, 5, 4])

例2，取对角元

#例2，取对角元
A = torch.randn(5,5)
#B = torch.diagonal(A)
B = torch.einsum("ii->i",A)
print("before:",A.shape)
print("after:",B.shape)

before: torch.Size([5, 5])
after: torch.Size([5])

例3，求和降维

#例3，求和降维
A = torch.randn(4,5)
#B = torch.sum(A,1)
B = torch.einsum("ij->i",A)
print("before:",A.shape)
print("after:",B.shape)

before: torch.Size([4, 5])
after: torch.Size([4])

例4，哈达玛积

#例4，哈达玛积
A = torch.randn(5,5)
B = torch.randn(5,5)
#C=A*B
C = torch.einsum("ij,ij->ij",A,B)
print("before:",A.shape, B.shape)
print("after:",C.shape)

before: torch.Size([5, 5]) torch.Size([5, 5])
after: torch.Size([5, 5])

例5，向量内积

#例5，向量内积
A = torch.randn(10)
B = torch.randn(10)
#C=torch.dot(A,B)
C = torch.einsum("i,i->",A,B)
print("before:",A.shape, B.shape)
print("after:",C.shape)

before: torch.Size([10]) torch.Size([10])
after: torch.Size([])

例6，向量外积

#例6，向量外积
A = torch.randn(10)
B = torch.randn(5)
#C = torch.outer(A,B)
C = torch.einsum("i,j->ij",A,B)
print("before:",A.shape, B.shape)
print("after:",C.shape)

before: torch.Size([10]) torch.Size([5])
after: torch.Size([10, 5])

例7，矩阵乘法

#例7，矩阵乘法
A = torch.randn(5,4)
B = torch.randn(4,6)
#C = torch.matmul(A,B)
C = torch.einsum("ik,kj->ij",A,B)
print("before:",A.shape, B.shape)
print("after:",C.shape)

before: torch.Size([5, 4]) torch.Size([4, 6])
after: torch.Size([5, 6])

例8，张量缩并

#例8，张量缩并
A = torch.randn(3,4,5)
B = torch.randn(4,3,6)
#C = torch.tensordot(A,B,dims=[(0,1),(1,0)])
C = torch.einsum("ijk,jih->kh",A,B)
print("before:",A.shape, B.shape)
print("after:",C.shape)

before: torch.Size([3, 4, 5]) torch.Size([4, 3, 6])
after: torch.Size([5, 6])

三，einsum高级范例

einsum可用于超过两个张量的计算。

例9，bilinear注意力机制

例如：双线性变换。这是向量内积的一种扩展，一种常用的注意力机制实现方式)

不考虑batch维度时，双线性变换的公式如下:

考虑batch维度时，无法用矩阵乘法表示，可以用元素计算公式表达如下：

#例9，bilinear注意力机制

#====不考虑batch维度====
q = torch.randn(10) #query_features
k = torch.randn(10) #key_features
W = torch.randn(5,10,10) #out_features,query_features,key_features
b = torch.randn(5) #out_features

#a = q@[email protected]()+b  
a = torch.bilinear(q,k,W,b)
print("a.shape:",a.shape)


#=====考虑batch维度====
Q = torch.randn(8,10)    #batch_size,query_features
K = torch.randn(8,10)    #batch_size,key_features
W = torch.randn(5,10,10) #out_features,query_features,key_features
b = torch.randn(5)       #out_features

#A = torch.bilinear(Q,K,W,b)
A = torch.einsum('bq,oqk,bk->bo',Q,W,K) + b
print("A.shape:",A.shape)

a.shape: torch.Size([5])
A.shape: torch.Size([8, 5])

例10，scaled-dot-product注意力机制

我们也可以用einsum来实现更常见的scaled-dot-product 形式的 Attention.

不考虑batch维度时，scaled-dot-product形式的Attention用矩阵乘法公式表示如下:

考虑batch维度时，无法用矩阵乘法表示，可以用元素计算公式表达如下：

#例10，scaled-dot-product注意力机制

#====不考虑batch维度====
q = torch.randn(10)  #query_features
k = torch.randn(6,10) #key_size, key_features

d_k = k.shape[-1]
a = torch.softmax([email protected]()/d_k,-1) 

print("a.shape=",a.shape )

#====考虑batch维度====
Q = torch.randn(8,10)  #batch_size,query_features
K = torch.randn(8,6,10) #batch_size,key_size,key_features

d_k = K.shape[-1]
A = torch.softmax(torch.einsum("in,ijn->ij",Q,K)/d_k,-1) 

print("A.shape=",A.shape )

a.shape= torch.Size([6])
A.shape= torch.Size([8, 6])

以上。

万水千山总是情，点个在看行不行？

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