Codeforces Round #779 (Div. 2) D 388535

D2. 388535 (Hard Version)

这里直接上 $D2$ 的做法吧。我们可以知道 $l\oplus x$ 一定在 $a$ 中，所以对于 $(a[i]\oplus l)$ (1<=i<=r-l+1) ，总有一个是 $x$ 。我们现在设 $b[i]=(a[i]\oplus l)$ ，那么我们怎么判断 $b[i]$ 是不是 $x$ 呢？首先我们要知道原序列是一个排列，所以不会有相同的数字，且当前序列是通过原序列异或上同一个数字得到的，所以当前序列也不会有相同的数字，所以当前的序列再异或上一个相同的数字也不可能有相同的数字。

那么想要知道 $b[i]$ 是否可以作为 $x$ ，我们只要知道：
$$min\{b[i]\oplus a[j]\mid 1\le j\le r-l+1\}==l?$$ 和
$$max\{b[i]\oplus a[j]\mid 1\le j\le r-l+1\}==r?$$
因为如果最小值为 $l$ ，最大值为 $r$ ，且我们知道每个数都不同，那不自然就是 $[l,r]$ 的一个排列了么。求上述最小值和最大值就是经典的 $01$ 字典树问题了。

#include

using namespace std;

const int N = 5e5 + 10;

int a[N];
int tot, nxt[20*N][2];

void clear() {
    tot = 0;
    nxt[0][0] = nxt[0][1] = 0;
}

void insert(int x) {
    int rt = 0;
    for (int i = 20; i >= 0; --i) {
        int cur = (x >> i & 1);
        if (!nxt[rt][cur]) {
            nxt[rt][cur] = ++tot;
            nxt[tot][0] = nxt[tot][1] = 0;    
        }
        rt = nxt[rt][cur];
    }
}

int query_min(int x) {
    int rt = 0, ans = 0;
    for (int i = 20; i >= 0; -- i) {
        int cur = (x >> i & 1);
        int need = cur;
        if (!nxt[rt][need]) {
            ans = (ans << 1) | 1;
            need = !need;
        }
        else {
            ans = (ans << 1);
        }
        rt = nxt[rt][need];
    }
    return ans;
}

int query_max(int x) {
    int rt = 0, ans = 0;
    for (int i = 20; i >= 0; -- i) {
        int cur = (x >> i & 1);
        int need = (cur ^ 1);
        if (!nxt[rt][need]) {
            ans = (ans << 1);
            need = !need;
        }
        else {
            ans = (ans << 1) | 1;
        }
        rt = nxt[rt][need];
    }
    return ans;
}

int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("in.txt", "r", stdin);
    freopen("out.txt", "w", stdout);
#endif
    int T; scanf("%d", &T);
    int n;
    while(T--) {
        int l, r; scanf("%d%d", &l, &r);
        for (int i = l; i <= r; ++i) {
            scanf("%d", &a[i]);
            insert(a[i]);
        }
        int x;
        for (int i = l; i <= r; ++i) {
            if (query_min(a[i] ^ l) == l && query_max(a[i] ^ l) == r) {  
                x = (a[i] ^ l);
                break;
            }
        }
        clear();
        printf("%d\n", x);
        // for (int i = l; i <= r; ++i) {
        //     cout << (x ^ a[i]) << ' ';
        // }
        // cout << endl << endl;
    }
}