小波变换中的多贝西小波（DB小波函数）概述

内容均来源于维基百科对db小波函数的介绍

多贝西小波（英语：Daubechies Wavelet），是以比利时女性物理暨数学家英格丽·多贝西（Ingrid Daubechies）的名字命名之一种小波函数，当初英格丽·多贝西发现了一种具有阶层（hierarchy）性质的小波，便将此小波以她的名字命名。多贝西小波主要应用在离散型的小波转换，是最常使用到的小波转换，通常使用在数位信号分析、信号压缩跟噪声去除。

一般而言的离散小波转换通常是以正交小波（orthogonal wavelet）为基底，而多贝西小波也是一种正交小波。由于它很容易经由快速小波转换（fast wavelet transform（FWT））实现，所以常会放在数位信号处理的教科书中教学。

对于有限长度的小波，应用于快速小波转换（fast wavelet transform（FWT））时，会有两个实数组成的数列：一是作为高通滤波器的系数，称作小波滤波器（wavelet filter,也称为mother wavelet）；二是低通滤波器的系数，称作调整滤波器（scaling filter,也称为father wavelet）。

我们则以滤波器的长度N来形容滤波器为DN，例如：N=2的多贝西小波写作D2、N=4的多贝西小波写作D4，以此类推（N为偶数）。实际上常用的多贝西小波为D2到D20。

• 分类方式

  多贝西小波的分类是以消失动量（vanishing moment）的值A（亦为消失动量的个数）为依据（A称为tap），调整函式（scaling function）及小波函式（wavelet function）的平滑度（smoothness）皆会随着消失动量的值（tap）增加而增加：例如，当A=1时，多贝西小波即是哈尔小波（Haar wavelet），调整函式及小波函式都是不连续的；当A=2时，多贝西小波的调整函式及小波函式为不能平滑微分的连续函式；当A=3时，调整函式及小波函式已经是连续可微的函式了。以此类推，当A愈大时，多贝西小波的两个函式平滑度会愈来愈高。以下为多贝西小波跟不同A的调整及小波函式图：

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• 长度

  多贝西小波的长度为消失动量（vanishing moment）值A的两倍；所以当消失动量为A时，多贝西小波的小波滤波器（wavelet filter）及调整滤波器（scaling filter）长度皆为2A（N=2A）。一般而言，我们仍是以N来形容多贝西小波的长度：例如，当A=1时，有一个消失动量，多贝西小波写成D2，长度为2（也是Haar小波）；当A=2时，有两个消失动量，多贝西小波写成D4，长度为4；以此类推。但是，在matlab的使用上是以dbA描述多贝西小波，以下则为调整滤波器的系数及A的关系表：

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多贝西小波具有调整函式（低通滤波）及小波函式（高通滤波）两个函式。因此，我们需先建立调整函式及小波函式的系数:

首先，调整函数在多尺度分析（multi-resolution analysis）中的每一层皆可写为下列方程式：

 

算法

以下为示范小波转换应用于影像压缩，压缩后为原本图片的四分之一。

假设输入的图片大小为M*N，让图片对高频和低频进行convolution。

对M的基数进行取样，这个结果会让两个维度都变成(M/2)*N。

把低频的图片放在上面，高频的放在下面，低频的图片会长的像原本的图片，高频的图片会是只有灰色的图片。

对新的图片再进行高频和低频的convolution，这时变成M*(N/2)的大小，低频放在左边，高频放在右边，

最后可以看到[0:M/2, 0:N/2]就会是原本压缩过后的图片。

因小波转换有良好的性质，经过多次压缩还是能保有原本的资讯。也就是说可以修改以下的程式码改成循环的方式，

进行多次小波转换，经过类似的模式再使用多次的反小波转换，还原出原本大小的图片。

import numpy as np
def subsampling(x, d):
    if d == 1:
        y = x[::2, :]
    elif d == 2:
        y = x[:, ::2]
    return y

def upsampling(x, d):
    s = x.shape
    if d == 1:
        y = np.zeros((p * s[0], s[1]))
        y[::2, :] = x
    elif d == 2:
        y = np.zeros((s[0], p * s[1]))
        y[:, ::2] = x
    return y
    
def cconv(x, h, d):
    if d == 2:
        return np.transpose(cconv(np.transpose(x), h, 1))
    y = np.zeros(x.shape)
    p = len(h)
    pc = int(round( float((p - 1) / 2 )))
    for i in range(0, p):
        y = y + h[i] * np.roll(x, i - pc, axis=0)
    return y
    
def DWT(image, h, g): # discrete wavelet transformation
    fW = image.copy()
    j = int(np.log2(image.shape[0])-1)
    A = fW[:2**(j+1):,:2**(j+1):]
    Coarse = subsampling(cconv(A,h,1),1)
    Detail = subsampling(cconv(A,g,1),1)
    A = np.concatenate( (Coarse, Detail), axis=0 )
    Coarse = subsampling(cconv(A,h,2),2)
    Detail = subsampling(cconv(A,g,2),2)
    A = np.concatenate( (Coarse, Detail), axis=1 )
    fW[:2**(j+1):,:2**(j+1):] = A
    return fW
    
def iDWT(image, fW, h, g): #image is original, fW is after DWT of that.
    f1 = fW.copy()
    j = int(np.log2(image.shape[0])-1)
    A = f1[:2**(j+1):,:2**(j+1):]
    Coarse = A[:2**j:,:]
    Detail = A[2**j:2**(j+1):,:]
    h1 = h[::-1]
    g1 = g[::-1]
    Coarse = cconv(upsampling(Coarse,1),h1,1)
    Detail = cconv(upsampling(Detail,1),g1,1)
    A = Coarse + Detail
    Coarse = A[:,:2**j:]
    Detail = A[:,2**j:2**(j+1):]
    Coarse = cconv(upsampling(Coarse,2),h1,2)
    Detail = cconv(upsampling(Detail,2),g1,2)
    A = Coarse + Detail
    f1[:2**(j+1):,:2**(j+1):] = A
    return f1

参考资料

1. A first course in Wavelets with Fourier Analysis, A.Boggess, F.J. Narcowich, 2001

分类：​

• 正交小波