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求解模奇质数意义下的二次同余方程

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5种情况求x^2≡a(mod p)

(1) p是奇数质数 k是正整数 求x^2≡p^2(mod p^k)有多少解?

(2) a是一个整数的完全平方 p是质数 求x^2≡a(mod p)有多少解?

(3) 证明如果x^2≡a(mod p）只有两个解 那么 x^2≡a(mod p^k)只有两个解（k是整数）

(4) 找出10个奇数质数p满足p|x^2+5 (x是整数) 另：能对这些质数做一个推断吗

(5)找出10个奇数质数p满足p|x^2+1 (x是整数) 另：能对这些质数做推断吗

(1) p是奇数质数 k是正整数 求x^2≡p^2(mod p^k)有多少解?

k=1,有一个解x≡0(mod p)

k=2,有一个解x≡0(mod p)

k>2,显然正负p是两个不同的解,如果A是另一个不同的解,则(A^2,p^k)=(p^2,p^k)=p^2,

所以A^2＝z^2*p^2,(z,p)=1,A=z*p

则A^2-p^2=(z^2-1)p^2=mp^k,(m,p)=1,(z-1)(z+1)=m*p^(k-2),z-1与z+1只有一个可能是p的倍数

所以z=n*p^(k-2)+/-1 m=n(np^(k-2)+/-2),显然(n,p)=1

取n=0,1,2,3,...p-1,p+1,p+2,.2p-1,2p+1,2p+2,...3p-1.（p^2-1）*p -1

共计2+(p-1)*2*(p^2-1)个解

(2) a是一个整数的完全平方 p是质数 求x^2≡a(mod p)有多少解?

(3) 证明如果x^2≡a(mod p）只有两个解 那么 x^2≡a(mod p^k)只有两个解（k是整数）

(4) 找出10个奇数质数p满足p|x^2+5 (x是整数) 另：能对这些质数做一个推断吗

(5)找出10个奇数质数p满足p|x^2+1 (x是整数) 另：能对这些质数做推断吗

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