亖夕
亖夕

一个小故事带你了解大O表示法

 ☀前言：我们再编写程序时，不同的人有不同的思路，算法。那么如果需要比较谁的代码更好，使用哪种算法效率更高，我们一般会从代码程序的速率和所占空间去考虑。这时我们就需要使用一种方法描述程序运行的时间复杂度（运行快慢），空间复杂度（运行程序所占用的内存空间）

目录

引入案例

分析时间，空间复杂度

我们再次推广

以下是大O表示法常见的复杂度表示

引入案例

假如你和你的朋友再玩猜数字游戏，游戏规则如下

你的朋友在数字1到100中选出一个数字，那么你在不知情的情况下去猜这个数字是多少，你的朋友根据你猜的数字给出提示，指出你猜的数字是大了还是小了，不限猜的次数。

✏ 这是一个简单的游戏，最终你都可以猜到答案，但是那要怎么猜呢？

如果你从1开始逐个往上猜

‍♂️你：1

‍♂️朋友：小了

‍♂️你：2

‍♂️朋友：小了

......

‍♂️你：68

朋友：猜对了

这是什么查找方法呢？

说不好听的就是傻找，说得好听一些就是遍历

对于这种傻找，最理想的情况是你朋友选了1，你也正好从1开始，最糟糕的情况就是你朋友选了100，你还从1开始逐个往后猜，那傻子才玩这种游戏。

一个小故事带你了解大O表示法_第1张图片

✏ 那么有没有更好的办法快速猜到这个数字 ？

当然有，就是我们常说的二分法，根据二分法，我们可以这么猜

假如你朋友选了69

‍♂️你：50（1到100的中间数字）

‍♂️朋友：小了

‍♂️你：75（50到100的中间数字）

‍♂️朋友：大了

‍♂️你：63（75到100的中间数字）

‍♂️朋友：小了

‍♂️你：69（63到75的中间数字）

朋友：猜对了

使用二分法糟糕的情况是需要猜log2^n次，因为每次我们都是猜中间的数字，如果猜错了也没事，猜错了我们也可以排除一半的情况，n = 100，那么我们最多需要猜7次。比傻找最糟糕的情况少猜了93次。

分析时间，空间复杂度

对于上述的案例，我们如何表示傻找和二分法的时间复杂度，和空间复杂度呢？

写出代码程序然后运行计算得出结果需要多少秒，占用多少m内存？，当然不是。

我们使用大O表示法表示程序的空间复杂度和时间复杂度

写作：O（x），x表示时间或空间复杂度也称操作数

值得注意的是，分析程序，算法的复杂度是我们考虑的都是最糟糕情况下的复杂度

对于案例

傻找的最糟糕情况为猜100次

那么傻找的时间复杂度为O（100）= O（1）

我们假设记录每次猜的数字，最糟糕情况为猜100次也就需要记录100个数字

那么空间复杂度为O（100）= O（1）

---------------------------------------------------------

二分法的最糟糕情况为猜7次

那么二分法的时间复杂度为O（7）= O（1）

我们假设记录每次猜的数字，最糟糕情况为猜77次也就需要记录7个数字

那么空间复杂度为O（7）= O（1）

✏ 为什么O（100）= O（7）= O（1）？

因为在daO（）表示法中，我们把所有的O（常数）均表示为O（1）

现在我们推广案例，假如从1到n猜数字。（一般情况下n很大）

那么

傻找的时间复杂度为O（n）

空间复杂度为O（n）

--------------------------------------------

二分法

的时间复杂度为O（log2^n）

空间复杂度为O（n）

⭐我们再次推广

假设你和朋友玩猜数字先在1到n猜，然后朋友决定加大难度再从1到2n中选一个数字再猜一次，同样记录你每次猜的数字，不限猜的次数。

那么对于两次游戏

傻找的最糟糕情况为：

第一次需要猜n次

第二次需要猜2n次

傻找的时间复杂度为O（3n）= O（n）

空间复杂度为O（3n）= O（n）

----------------------------------------------------

二分法查找的最糟糕情况为：

第一次需要猜log2^n次

第二次需要猜\log 2^{2n}次

时间复杂度为O（\log2^{3n}）= O（log2^n） 

空间复杂度为O（\log2^{3n}）= O（log2^n）

✨接着朋友想再次提高难度

假设你和朋友玩猜数字先在1到n猜，你猜对后朋友将正确数字分成n等份（可能变成小数）再选一个数字让你再猜一次，同样记录你每次猜的数字，但是猜对第一次后不在记录（n等分后的数字不再记录），不限猜的次数，但是这次朋友不会提醒你数字大了还是小了。

（说白了他就是不想玩了，让你单纯找着玩，猜数字变成了找数字）

那么对于两次猜数字

傻找的最糟糕情况为：

因为朋友不在提醒，所以你需要找出所有结果。

先遍历n个数字，再“猜”第1个数字的时候又将其分为n个数字，那你还要再“猜”n次。如此进行下去，那么最糟糕的结果需要寻找n*n = n^{2}次。

这时

傻找的时间复杂度为O（n^{2}）

 因为但是猜对第一次后不在记录你猜的数字（n等分后的数字不再记录），所以

空间复杂度为O（n）

对于二分法，因为朋友不会提醒你数字大了还是小了。

所以你无法使用二分法查找

以下是大O表示法常见的复杂度表示

O(n) 也叫线性时间 一般是一次简单查找
O(\log n) 对数时间 常见有二分法
O(n*\log n) 常见有快速排序等
O(n^{2}) 常见于两层的for循环
O（n!) 拥有非常慢的运行速度 常见数性结构的遍历

复杂度比较

一个小故事带你了解大O表示法_第2张图片

（^表示次方） 

这就是平时我们在不靠直觉情况下，计算程序复杂度，判断哪个程序更“好”的方法。

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按字母分类： ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ其他