经典组合型dfs：P1025 数的划分——组合型剪枝dfs与经典的划分型动态规划

P1025 数的划分

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总结目录

1 组合剪枝和全排列剪枝的不同
2 划分型DP

1 经典的组合剪枝

本题是一个经典的组合剪枝问题。即求一个组合数，使得结果和为n。相同组合之间不能重复，这和全排列问题是恰好类似又有很大不同的。

组合剪枝的关键是如何枚举。实际上，全排列使用的是所有可能性都可以枚举，然后到尽头就可以了。而组合剪枝多了一个要求，就是i的初始化的时候要按照递增的顺序枚举，这样就可以做到组合剪枝的效果，也就是说这样就不会使得组合出现重复。 这个属于基本剪枝，必须掌握。

另外在枚举的时候，判断条件也可以进行剪枝，即如果全部都枚举为最小的数，如果仍然超过了，那么就舍弃，达到剪枝加速的效果。这是第二个优化。

2 划分型DP

有两种思路如下。一种是类似于背包的思路，dp[i][j]定义为总量为i，j是划分的分数。那么很容易得到
dp[i][j]=sum{ dp[i-t][j-1] } // t=1~n
求和的顺序要注意，按照递增顺序求和。主要是为什么按照递增顺序求和可能难以理解，其实t放在最外层也是考虑到更新的顺序必须是在最外层的，也就是说要利用后续的数字的时候，必须要先更新前面的数，所以要求t必须在最外层。

第二种思路类似于判断组合有没有1，有1的话那么相当于我们已经确定1个1了，没有1的话，那么剩下的和求dp[i-j][j]是一样的（相当于答案每个-1，一共减少了j）

dfs代码

#include
#include
using namespace std;
int n, k;
int cnt = 0;

void dfs(int last,int sum,int cur) {
	if (cur == k) {//cur==k就到尽头了，直接判断sum就知道是否可行
		if (sum == n) {
			cnt++;
		}
		return;
	}
	//if (last*(k-cur)+sum>n) {
	//	return;//剪枝，如果之后的都取最小值还是比n大，那么不可能
	//}
	for (int i = last; i*(k-cur)+sum <= n; i++) {//典型的组合性剪枝，防止组合重复因此要递增枚举，i从last开始枚举保证递增
		dfs(i, sum + i, cur + 1);
	}
}

int main() {
	cin >> n >> k;
	dfs(1, 0, 0);
	cout << cnt;
	return 0;
}

划分型DP代码