算法模板:数论之快速幂【沈七】

算法模板:数论之快速幂

  • 前言
  • 快速幂
  • 算法模板
    • 快速幂求逆元
  • 完结散花
  • 参考文献

前言

唤我沈七就好啦。

快速幂

给 你 三 个 整 数 a , k , p , 求 a k   m o d   p 给你三个整数 a,k,p,求 a^{k}  mod  p a,k,pakmodp

数据范围
1≤n≤105
1≤ai,pi≤2∗109

思路

将 指数转化成 二进制

只需要在指数的二进制为 1 时 与 底数的幂次方 相成即可

底数的幂次方是在不断 自乘的中生成的

实现方法

每次判断 指数 二进制 末尾是否是 1。

如果是 就更新答案 ans = ans * a % p 之后 k >> 1。

底数自乘 a = a * a % p 。

例如: k=11,二进制下是 k=1011 。
b ( 二 进 制 ) 的 最 后 一 位 是 1 吗 ? 是 的 。 这 代 表 a 11 = a 8 × a 2 × a 1 中 的 a 1 存 在 。 b(二进制)的最后一位是 1 吗? 是的。这代表 a^{11} = a^8 × a^2 × a^1 中的 a^1 存在。 b1a11=a8×a2×a1a1
这时 答案 ans = ans * a % p , a = a^1 之后 a 累乘 a = a * a % p ;

之后 在通过 k>>=1 的操作 将 k 二进制的第二位数移到最后一位,再次 判断是否 1。

ans = ans * a % p ,此时的 a = a ^ 2 % p,a 继续累乘 a = a * a % p ;

直到判断到第 3 位时发现并不为 1 ,这是 ans 不更新 ,a 继续累乘 .

重复上述操作 ans = ans * a % p ,此时 a = a ^ 8 % p;
a 11 = a 8 × a 2 × a 1 a^{11} = a^8 × a^2 × a^1 a11=a8×a2×a1

算法模板

typedef long long LL;
LL power(LL a,LL k,LL p)
{
	LL ans=1;
	while(k)
	{
		if(k&1)ans=ans*a%p;
		k>>=1;
		a=a*a%p;
	}
	return ans;
}

快速幂求逆元

给定 na i,p i,其中 p i 是质数,求 a ip i

的乘法逆元,若逆元不存在则输出 impossible

注意:请返回在 0∼p−1

之间的逆元。

乘法逆元的定义

若整数 bm 互质,并且对于任意的整数 a,如果满足 b|a,则存在一个整数 x,使得 a/ba×x(modm),则称 xb 的模 m 乘法逆元,记为 b−1(modm)。
b 存在乘法逆元的充要条件是 b 与模数 m 互质。当模数 m 为质数时,b m−2 即为 b 的乘法逆元

人话:

x 满足 b * x = 1 %(n) 则称 x 为 b 的逆元

即 b乘其逆元的积%上一个给定的数 等于 1

当n为质数时,结合费马定理,可以用快速幂求逆元:

a / b ≡ a * x (mod n)
两边同乘b可得 a ≡ a * b * x (mod n)
即 1 ≡ b * x (mod n)
同 b * x ≡ 1 (mod n)

由费马小定理可知,当n为质数时

b ^ (n - 1) ≡ 1 (mod n)
拆一个b出来可得 b * b ^ (n - 2) ≡ 1 (mod n)
故当n为质数时,b的乘法逆元 x = b ^ (n - 2)

#include
using namespace std;
const int N = 1e6+10;
typedef long long LL;
int a,b;
int hh,tt=-1; 
LL power(LL a,LL k,int p)
{
	LL ans=1;
	while(k)
	{
		if(k&1)ans=ans*a%p;
		k>>=1;
		a=a*a%p;
	}
	return ans;
}
int main()
{
	int n,m,p;
	cin>>n;
	while(n--)
	{
		cin>>a>>p;
		if(a%p==0)
		printf("impossible\n");
		else
		cout<<power(a,p-2,p)<<"\n";
	}
	return 0;
}

完结散花

ok以上就是对 算法模板:数论之快速幂 的全部讲解啦,很感谢你能看到这儿。如果有遗漏、错误或者有更加通俗易懂的讲解,欢迎小伙伴私信我,我后期再补充完善。

参考文献

https://www.acwing.com/activity/content/19/

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