非线性方程组求解方法及python代码实现

前言

工作中，遇到工程上的一个四元的非线性方程组需要求解，经过各路大神的协助，终将该问题解决，在此进行记录，同时也写给需要的你们。

一、问题描述

二、求解算法

三、代码实现

import numpy as np
from sympy import symbols, diff
from scipy import linalg
import pandas as pd

def fun(x, points):
    """
    求方程组（值表示）在点x处的值
    :param x: 数值解点
    :param points: 给定点（和值，测试时用）
    :return:
    """
    f = np.zeros(4, dtype=float)
    f[0] = x[0] * (x[1] + points['t1']) ** x[3] - points['u1']
    f[1] = x[0] * (x[1] + points['t1'] + x[2]) ** x[3] - points['u2']
    f[2] = x[0] * (x[1] + points['t2']) ** x[3] - points['u3']
    f[3] = x[0] * (x[1] + points['t2'] + x[2]) ** x[3] - points['u4']

    return f

def fun_dfun(x, points):
    """
    方程组和jacobi矩阵(符号表示）及其在点x处的值
    :param x: 分量分别是未知数的一组值
    :param points: 给定点（和值，测试时用）
    :return: 方程组
    """
    # 未知数符号
    G = symbols('G')
    R = symbols('R')
    N = symbols('N')
    alpha = symbols('alpha')

    # 非线性方程组(符号表示）
    f = []
    f.append(G * (R + points['t1']) ** alpha - points['u1'])
    f.append(G * (R + points['t1'] + N) ** alpha - points['u2'])
    f.append(G * (R + points['t2']) ** alpha - points['u3'])
    f.append(G * (R + points['t2'] + N) ** alpha - points['u4'])

    # 求Jacobi矩阵（符号表示形式）
    df = []
    for i in range(4):
        df.append([diff(f[i], G), diff(f[i], R), diff(f[i], N), diff(f[i], alpha)])

    f_x, df_x = np.zeros(4, dtype=float), np.zeros((4, 4), dtype=float)
    # 方程组和Jacobi矩阵的值
    for i in range(4):
        f_x[i] = float(f[i].evalf(subs={G: x[0], R: x[1], N: x[2], alpha: x[3]}))  # 值代入方程中
    for i in range(4):
        for j in range(4):
            df_x[i][j] = float(df[i][j].evalf(subs={G: x[0], R: x[1], N: x[2], alpha: x[3]}))  # 值带入Jacobi矩阵中
    # df_1x = np.linalg.inv(np.array(df_x))   # Jacobi矩阵得逆, 太耗时

    return f_x, df_x

def newton(x, points):
    """
    用牛顿迭代法求解最优值
    :param x: 初始值
    :param points: 给定点（和值，测试时用）
    :return: 最优值
    """

    count = 1
    while count < 1000:
        f_x, df_x = fun_dfun(x, points)
        delta_x = linalg.solve(df_x, -f_x)  # 求解线性方程组
        x1 = x + delta_x
        error = np.sum(np.square(fun(x1, points)))  # 迭代中两次值得欧氏距离
        if error > 1e-8:
            x = x1
            count += 1
        else:
            break
    if count < 1000:
        print("迭代次数为:      ", count)
        print("G的最优解为：    ", x[0])
        print("R的最优解为：    ", x[1])
        print("N的最优解为：    ", x[2])
        print("alpha的最优解为：", x[3])
    else:
        print("迭代失败")

    return x

四、测试

def main():
    # 测试用例
    t = [1, 2, 4, 5]
    u = [2 * (4 + i) ** 0.7 for i in t]   # G: 2， N: 1， R:3， alpha：0.7
    points = {}
    points['t1'] = t[0]
    points['t2'] = t[2]
    points['u1'] = u[0]
    points['u2'] = u[1]
    points['u3'] = u[2]
    points['u4'] = u[3]

    x = np.ones(4, dtype=float)  # 初值
    a = newton(x, points)
    print(a)

测试结果如下：

END

参考资料

-（需要补）