数据结构基础（算法的时空复杂度）

1. 为什么算法会有时空复杂度

在程序设计中，为了完成某些功能，工程师们会设计一些算法，来完成这些功能。然而完成这些功能的时候不可避免的会遇到一些效率问题，而时间复杂度和空间复杂度具有算法运行时衡量算法效率的作用。
一般情况下，算法的时间复杂度与空间复杂度是成反比的，当一个算法时间复杂度降低，这个算法的空间复杂度会相应升高。二者经常不可得兼。

2. 时空复杂度的计算

时间复杂度

时间复杂度主要衡量一个算法的运行快慢。在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它定量的描述了这个算法的运行时间。但一个算法执行所耗费的时间理论上是算不出来的，我们需要上机去测，而且受限制非常大，经常受硬件和编译器限制。一个算法的执行时间与其中语句的执行次数成正比，所以我们描述时间复杂度不用该算法的运行时间算法函数，而是用算法中的基本操作的执行次数。即

找到某条语句与问题规模N之间的表达式，就是算出了该算法的时间复杂度

如以下代码

int main()
{
	int i = 0;
	int sum = 0;
	for (i = 0; i < N; i++)
	{
		for (int j = 0; j < N; j++)
			sum += i * 10 + j;
	}
	return 0;
}

其中的代码sum += i * 10 + j; 运行了 N^2 次，那么这个代码的时间复杂度就是 O(N*N) 即 O(N²)
我们计算基本代码执行次数时不一定要精确次数只需要大概次数，这里用大O的渐进表示法。

在表示算法时间复杂度的时候我们常用最坏情况。比如如下：

int search(int src)
{

	int a[N] = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., N };
	for (int i = 0; i < N; i++)
	{
		if (src == a[i])
		{
			return 1;
		}
	}


	return 0;
}

这是一段遍历查找代码
此代码最好情况便是第一次直接匹配成功，那么这个代码时间复杂度是不是 O(1) 呢？或者是 O(N/2) ？还是 O(N) ？
答案是 O(N) 我们一般认为时间复杂度是算法最坏情况下的时间复杂度。

还有一种情况，当时间复杂度为常数时如：

int main()
{
	int a = 10;
	int b = 20;
	int tmp = 0;
	tmp = a;
	a = b;
	b = tmp;
	return 0;
}

以上代码基本操作有三步，那么它的时间复杂度就是 O(1) ,而不用 O(3) 表示。

空间复杂度

空间复杂度主要用来衡量一个算法运行所需要的额外空间。在计算机发展早期，计算机的存储容量很小，所以对空间复杂度很是在乎。但计算机行业的快速发展，如今的计算机存储容量已经非常大了，我们如今不太需要特别的关注一个算法的空间复杂度。
空间复杂度也是一个数学表达式，是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度。空间复杂度表示的不是程序占用了多少byte的空间，这个没太大意义。空间复杂度算的时变量的个数。空间复杂度也用大O的渐进表示法表示。

空间复杂度表示的是在算法运行过程中额外申请的空间的个数就，不将算法本身的数据存储空间计算在内

表示方法也与时间复杂度类似。
如交换数值算法

算法一：

int main()
{
	int a = 10;
	int b = 20;
	int tmp = 0;
	tmp = a;
	a = b;
	b = tmp;
	return 0;
}

算法二：

int main()
{
	int a = 10;
	int b = 20;
	a = a ^ b;
	b = a ^ b;
	a = a ^ b;

	return 0;
}

以上两个算法都是交换两个变量的数值，但算法一使用了一个额外变量，所以算法一的时间复杂度就是 O(1) 。 算法二无额外变量，所以算法二的时间复杂度就是 O(0)

总结

算法的时间复杂度和空间复杂度是有一些相关的，比如它们的表示非常相似，时间复杂度与空间复杂度通常成反比，二者不可得兼，所以经常有一些用空间换取时间的操作。时间复杂度与空间复杂度经常用来衡量算法的效率，并成为时空复杂度，做为程序员我们要熟练运用数据结构的专有名词。