空间坐标乘旋转矩阵_如何理解矩阵“左乘”与“右乘”

在最近的一次学习中，我们学到了矩阵的左乘和右乘，但是我们在课堂里面有这样的一个描述：

在固定坐标系下面，我们用左乘的方法；在非固定的坐标系下面，用右乘。

如果一个矩阵总是以固定的极坐标系运动，我们便可以用一个坐标系下面的“描述”来描述这样一个变化。

注意，在每一个旋转矩阵里面这个“描述”都是会基于一个基座标系，例如：

上述矩阵描述的是，整个矩阵绕着z轴旋转

现有两个矩阵：

其中，A是一个绕着Z轴的旋转矩阵，B是一个平移变化的矩阵。我们可以注意到，这个矩阵里面的“数字”依然是围绕着一个基坐标描述的（在这里我们不妨把它称作是“大地坐标”），也就是以大地为基座标。

如果我们每次采取的变化，都是围绕着基座标的话，我们便可以用“左乘”，利用他们的变化性质进行变化：比如说，我们想要先进行一次旋转变化A，然后再进行一次平移变化B，我们应该怎么做呢？

我们可以利用的性质是：我们在进行坐标系的变化过程中，总是采用的是左乘的方法，所以我们可以推知，我们想要变化的向量总是会先“接触”其左边的变化矩阵，所以在及坐标系下面，我们采用的变化就是

的矩阵描述总变换

要是我们想先进行一次旋转变换然后再根据这个旋转变化后的新坐标系，再做一次平移变换我们应该怎么做呢？

这时候我们就会发现，单纯地用左乘的方法似乎达不到效果了。因为在第一个变化生效的时候，第二个变化的基座标系已经发生了改变，它是基于第二的坐标系再变化。所以我们在这里引用了一个右乘的概念，总变换矩阵是

我们可以这样来理解它：先进行一次平移变换，然后再进行一次旋转变化。可以这样理解，如果我们以大地为基座标，尽管平移变换是在旋转变化之后发生的，但是平移变换还是要受旋转变换的影响的（注意此时我们的视角是在“大地”）。

但是，如果我们把目光放在了旋转这个新的坐标下面，我们能关注到的，就是

这个平移矩阵仅仅做了一个平移的变换。

因为此时，我们把旋转矩阵作为基矩阵。

但是，我们所需要的答案是把大地作为基矩阵下的答案，所以还是得把旋转矩阵在大地坐标下面描述出来。

这个计算顺序的变化，就是我们所引入的“右乘”概念。