【从零开始】CS224W-图机器学习 学习笔记4.2：Community Structure in Networks（2）——BigCLAM算法

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文章目录

1  前言

2  重叠社团发现算法——BigCLAM算法

2.1 算法主要步骤

2.2 AGM模型（Community-Affiliation Graph Model）

2.3  算法思路：通过拟合图来发现社团

2.4  BigCLAM算法

3  总结

4  参考资料

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1  前言

上一节介绍了模块度和Louvain算法，Louvain算法适用于不重叠的(Non-overlapping)社团发现，但是我们现实生活中很多社团其实是存在重叠的(Overlapping)，反映在邻接矩阵上如下图：

 下面就介绍另一种重叠的社团发现算法——BigCLAM算法。

2  重叠社团发现算法——BigCLAM算法

2.1 算法主要步骤

• 第一步：定义一个基于节点-社团隶属关系的生成图的模型（Community Affiliation Graph Model (AGM)）
• 第二步：给定一个图G，假设其由AGM模型生成，迭代找到能生成最接近图G的AGM模型
• 通过这种方式，我们就能发现图中的社团。

2.2 AGM模型（Community-Affiliation Graph Model）

通过节点-社区隶属关系（左图）生成相应的网络（右图）。

参数：节点V，社区C ，成员关系M，每个社区C有个概率（表示社区c内的节点之间生成边的概率）

这样，对与属于多个社团的节点对，其相连概率就是：

对于该公式进行分类讨论，可得到：

• 当两个节点在同一个社区c时，即只有一种成员关系时，节点之间以的概率进行相连：

 

• 当两个节点不属于同一个社区时，节点之间没有边进行相连：

注：这看起来并不合理，所以会假设有一个“epsilon”社区，所有节点都属于它，但是epsilon会很小。这样，任意两个节点之间都会有一个很小的概率能建立连接，即

• 当两个节点属于两个社区时，即存在两种不同成员关系和时：

注：因为和都小于1，所以一定大于和。从社交网络上理解，就是两个人所处的共同圈子越多，他们认识的可能性就越大。

AMG模型是在重叠社区挖掘的时候引入的，但并不意味着AMG模型只能生成有重叠社区的网络。事实上，其非常灵活，可以生成不同类型的社团结构：

2.3  算法思路：通过拟合图来发现社团

社团发现的过程其实正是构建上述节点-社团隶属关系的二分图模型的过程，即上文“用AMG模型生成图”过程的逆过程。也就是说，给定一个图G，我们需要找到一个二分图模型F，且得到相关的参数。

解决这个问题的思路关键在于：已知真实图，找到模型，使得由生成的图和真实的图尽量接近，也就是使得关于的条件概率最大，也就是极大似然估计(Maximum Likelihood Estimation,MLE)。

那么，我们就需要找到一个计算条件概率的高效的方法，并遍历模型，其中条件概率 最大的模型就是我们需要的社团结构。

在AGM算法中，表示的是两个结点之间产生连边的概率。在真实网络G中，两点相连的时候，两点不相连的时候 。在模型F中，为了让它更贴合真实网络G，我们希望相连的两点之间的概率尽可能大，不相连的两点之间的概率尽可能小。这样就得到我们的目标函数：

有边就乘以产生连边的概率，没有边乘以不产生连边的概率，即，不断更新F的参数，就使得的增大，使F模型生成的G越来越接近给定的真实的G。

而BigCLAM算法的思想也是一样的，但是在概率和目标函数的形式上做了改进，增加了成员关系M上的权重。

2.4  BigCLAM算法

和AGM模型相比，BigCLAM模型在AGM的基础上进行了松弛(Relax)，即增添了成员关系强度。

定义一个参量，表示节点u属于社团A的成员关系的强度。对于AGM的二部图，每个节点u和社团之间的成员关系M转变成一个向量。向量的维度是社团的数量，比如有3个社团就是3维。 u属于的社团对应的位置就是1，不属于的社团就是0。

由此，我们就可以重新定义社团c内节点间的连接概率：

在这个式子中，因为，所以有，使得，另外，在这个式子中可能出现的两种特殊情况：

​​​​​​​得到新的​​​​​​​后，我们就可以进一步扩展：（连乘放到幂里变成连加）

 注：因为社团的数量可能会很多，所以这里用表示所有社团的集合。

再把得到的带入到公式中，得到：

再将此结果取对数，得到我们的目标函数：

 使用梯度上升的方法来优化目标函数的参数，使log-likelihood提升：​​​​​​​（下面这个公式的推导太复杂了，我也没推出来，先放一个Jure的推导结果）

注： 在Jure的课件里，F还可以通过训练一个GNN模型来获得，这就是Neural Overlapping Community Detection (NOCD)的key idea，但是因为时间关系，Jure没有继续介绍。先Mark一下，等学完GNN再回来补充吧！

当我们找到了F，就可以生成想要的重叠社团，进而完成了我们的社区发现任务。

3  总结

BigCLAM定义了一个模型，可生成重叠社团结构的网络。给定一个图，BigCLAM的参数（每个节点的成员关系强度）可以通过最大化对数似然估计得到。

4  参考资料

http://snap.stanford.edu/class/cs224w-2019/slides/04-communities.pdf

​​​​​​​社区发现算法——BigCLAM 算法_东方小虾米的博客-CSDN博客_bigclam

cs224w 图神经网络 学习笔记（五）Community Structure in Networks_喵木木的博客-CSDN博客