统计物理基本方法
统计物理基本方法
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粒子系统的基本运动形式，近独立粒子系，平动，振动，转动，相空间表示
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系统的微观态和宏观态， △ μ \triangle{\mu} △μ,宏观分布 { a j } \{a_j\} {aj}、宏观分布的组态数 W = N ! Σ j a j W=\frac{N!}{\underset{j}{\Sigma} a_j} W=jΣajN!
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微观态的等概率原理，组态的概率，宏观分布的概率
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最概然分布与平衡态： a j = N Z △ μ j e − ϵ j k T a_j=\frac{N}{Z}\triangle\mu_j e^{-\frac{\epsilon_j}{kT}} aj=ZN△μje−kTϵj
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偏离最概然分布的概率很小
当N->$ \infin $时，最概然分布可以代表真实分布，从而体系总的微观状态数完全可以用最概然分布所拥有的微观状态数取而代之。
- 物理量的相对涨落反比于$ \sqrt{\overline{N}} $
- 当涉及大量粒子的时候，涨落现象就很微弱，以至于可以忽略。这个结果说明，对平衡态的偏离随着N->$ \infin $而趋近于可以忽略。
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微观态与宏观态
- 设体系由三个独立的一维谐振子组成。体系总能量$ E=\frac{9}{2}h\nu $(平衡位置的势能规定为0)，体积为V。
- 系统状态为： ( N , V , E ) = ( 3 , V , 9 2 h ν ) (N,V,E)=(3,V,\frac{9}{2}h\nu) (N,V,E)=(3,V,29hν)
- 求出宏观态分布和相应的微观态
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△ μ \triangle \mu △μ的分割
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将粒子的能量分为一个个能量子（ h ν h\nu hν)的过程态,每一段的能量记为1/2 h ν h\nu hν…
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在考虑各种宏观态和微观态的时候，必须要满足粒子总数目守恒，和总能量守恒。
N = Σ i n i = 3 N=\underset{i}{\Sigma}n_i=3 N=iΣni=3
E = Σ i n i ϵ i = 9 2 h ν E=\underset{i}{\Sigma}n_i\epsilon_i=\frac{9}{2}h\nu E=iΣniϵi=29hν
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其中， n i n_i ni为能级段 ϵ i \epsilon_i ϵi上的谐振子数
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量子统计特点：
- 建立在量子力学基础上的量子统计物理和建立在经典物理基础上的经典统计物理，基本的统计假设和统计方法是相同的
- 只是当所处理的对象的运动满足量子力学规律，它们会对平衡态统计产生深刻的影响
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量子力学基本原理：
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量子系统的该状态用希尔伯特空间中的矢量$ |_{\Psi}>$描述
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描述微观系统的物理量是厄米算符，物理量的可测量值是相应算符的本征值。一般情况物理量的测量具有不确定性，物理量A在状态 ∣ Ψ > |_{\Psi}> ∣Ψ>上取值为 a i a_i ai的概率与态 ∣ Ψ > |_{\Psi}> ∣Ψ>在A的归一化本征矢量 ∣ a i > |_{a_i}> ∣ai>上的投影 < a i ∣ Ψ >
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微观系统中粒子在直角坐标系中的坐标与动量算符满足对易关系 [ x i , x j ] = [ p i , p j ] = 0 ; [ x i , p k ] = i h δ i k / 2 π [x_i,x_j]=[p_i,p_j]=0; [x_i,p_k]=i h \delta_{ik}/{2\pi} [xi,xj]=[pi,pj]=0;[xi,pk]=ihδik/2π
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微观系统状态随着时间的演化规律由薛定谔方程描述
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全同粒子系统的全同性原理
（ps:这里不懂没关系，接着往下看）
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量子力学假说：
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能量量子化：一维谐振子的能量是量子化的
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光量子假说：光具有粒子性 ϵ = h ν = ℏ ω , p ⃗ = h λ n ⃗ = ℏ k ⃗ ; k ⃗ = 2 π λ n ⃗ \epsilon=h\nu=\hbar\omega,\vec{p}=\frac{h}{\lambda} \vec{n}=\hbar\vec{k};\vec{k}=\frac{2\pi}{\lambda} \vec{n} ϵ=hν=ℏω,p=λhn=ℏk;k=λ2πn
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物质波假说：粒子具有波动性，是波动力学的基础
ν = ϵ h ; λ = h p ; ϵ = ℏ ω , p ⃗ = ℏ k ⃗ \nu=\frac{\epsilon}{h};\lambda=\frac{h}{p};\epsilon=\hbar\omega,\vec{p}=\hbar\vec{k} ν=hϵ;λ=ph;ϵ=ℏω,p=ℏk
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薛定谔方程推导：
利用经典力学中Hamiltonian和德布罗意第一方程推导定态薛定谔方程
在经典力学里Hamiltonian通常都可以被表示为系统内总动能T与总势能V之和：
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-YlKk5HVX-1648560736358)(https://www.zhihu.com/equation?tex=H%3DT%2BV)]
而对于一个质量为m位矢为r的粒子 [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-Wk16KBbe-1648560736359)(https://www.zhihu.com/equation?tex=T%3D%5Cfrac12m%5Cdot%7Br%7D%5E2%2CV%3DV%28r%29)] ，我们可以将其Hamiltonian写成：
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-wlj0VekT-1648560736359)(https://www.zhihu.com/equation?tex=H%3D%5Cfrac12m%5Cdot%7Br%7D%5E2%2BV)]
为了更加方便表示，引入动量 [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-z7ynhOfo-1648560736360)(https://www.zhihu.com/equation?tex=p%3Dm%5Cdot%7Br%7D)] ，则可以将Hamiltonian表示为：
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-Aqa35WMn-1648560736360)(https://www.zhihu.com/equation?tex=H%3D%7Bp%5E2%5Cover2m%7D%2BV)]
根据德布罗意假设的第一个方程，我们知道 [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-zVsuSozd-1648560736360)(https://www.zhihu.com/equation?tex=p%3D%7Bh%5Cover%5Clambda%7D%3D%5Chbar+k)] 其中k为粒子波在空间上的频率，得到
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-vftOLCzv-1648560736361)(https://www.zhihu.com/equation?tex=H%3D%7B%5Chbar%5E2k%5E2%5Cover2m%7D%2BV)]
由于量子力学早期发展中包括了很多的猜想，所以我们也不妨猜一猜波函数的特点。对于一般的波f(x)，通常会满足一个类似下面的方程（其中 [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-UD7Kx2UD-1648560736361)(https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega)] 为波的频率）：
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-MsyHEbaK-1648560736361)(https://www.zhihu.com/equation?tex=%7B%5Cmathrm%7Bd%7D%5E2f%5Cover%5Cmathrm%7Bd%7Dx%5E2%7D%3D-%5Comega%5E2f)]
利用这个思路，粒子波 [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-W4MA2I1g-1648560736361)(https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpsi)] 关于在空间上的频率在笛卡尔坐标系下的表达式分别为w6
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-QmdjF919-1648560736362)(https://www.zhihu.com/equation?tex=k_x%5E2%5Cpsi%3D-%7B%5Cpartial%5E2%5Cpsi%5Cover%5Cpartial+x%5E2%7D%2Ck_y%5E2%5Cpsi%3D-%7B%5Cpartial%5E2%5Cpsi%5Cover%5Cpartial+y%5E2%7D%2Ck_z%5E2%5Cpsi%3D-%7B%5Cpartial%5E2%5Cpsi%5Cover%5Cpartial+z%5E2%7D)]
再根据勾股定理，我们有
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-tKdWB5GU-1648560736362)(https://www.zhihu.com/equation?tex=k%5E2%5Cpsi%3D%28k_x%5E2%2Bk_y%5E2%2Bk_z%5E2%29%5Cpsi%3D-%5Cleft%5B%7B%5Cpartial%5E2%5Cover%5Cpartial+x%5E2%7D%2B%7B%5Cpartial%5E2%5Cover%5Cpartial+y%5E2%7D%2B%7B%5Cpartial%5E2%5Cover%5Cpartial+z%5E2%7D%5Cright%5D%5Cpsi)]
引入拉普拉斯算子 [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-LvVtYfOO-1648560736362)(https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cnabla%5E2%3D%7B%5Cpartial%5E2%5Cover%5Cpartial+x%5E2%7D%2B%7B%5Cpartial%5E2%5Cover%5Cpartial+y%5E2%7D%2B%7B%5Cpartial%5E2%5Cover%5Cpartial+z%5E2%7D)] 则有：
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-7185YxkE-1648560736362)(https://www.zhihu.com/equation?tex=k%5E2%5Cpsi%3D-%5Cnabla%5E2%5Cpsi)]
现在我们在看看Hamiltonian的式子，先对等式两侧同时乘上波函数，得：
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-V3ltlE4i-1648560736362)(https://www.zhihu.com/equation?tex=H%5Cpsi%3D%7B%5Chbar%5E2%5Cover2m%7Dk%5E2%5Cpsi%2BV%5Cpsi)]
再利用上面拉普拉斯算子的表达式，我们得到：
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-4jkwQkD9-1648560736363)(https://www.zhihu.com/equation?tex=H%5Cpsi%3D-%7B%5Chbar%5E2%5Cover2m%7D%5Cnabla%5E2%5Cpsi%2BV%5Cpsi%3D%5Cleft%5B-%7B%5Chbar%5E2%5Cover2m%7D%5Cnabla%5E2%2BV%5Cright%5D%5Cpsi)]
由于量子力学中我们通常使用**算子（operator）**来从波函数中获得物理量，所以方括号内的表达式被称作Hamiltonian算子（记作 [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-zoh9Qp8x-1648560736363)(https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Chat%7BH%7D)] ）：
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-FbuSyRAs-1648560736363)(https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Chat%7BH%7D%3D-%7B%5Chbar%5E2%5Cover2m%7D%5Cnabla%5E2%2BV)]
由于经典力学中我们只考虑两种能量——动能和势能——我们的Hamiltonian量也表示系统内的能量总和，即 [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-QliTVTbp-1648560736364)(https://www.zhihu.com/equation?tex=E%3DH)] ，因此对等式两侧同时乘上波函数，可以得到：
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-tNnxm8Rw-1648560736364)(https://www.zhihu.com/equation?tex=E%5Cpsi%3DH%5Cpsi)]
利用Hamiltonian算子，我们可以将右侧改写为：
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-QAGKcBR5-1648560736364)(https://www.zhihu.com/equation?tex=E%5Cpsi%3D%5Chat%7BH%7D%5Cpsi+%5C%5C+E%5Cpsi%3D%5Cleft%5B-%7B%5Chbar%5E2%5Cover2m%7D%5Cnabla%5E2%2BV%5Cright%5D%5Cpsi)]
现在，我们得到了定态薛定谔方程。其中等式左侧的能量常数E被称作Hamiltonian算子的本征值（eigenvalue），而利用定态方程+边界条件求出的定态波函数被称作本征函数（eigenfunction）或本征态（eigenstate）。
利用德布罗意第二方程推导出（非定态）薛定谔方程
根据德布罗意第二方程，能量与波函数关于时间的频率有关 [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-ninPw46m-1648560736364)(https://www.zhihu.com/equation?tex=E%3D%5Chbar%5Comega)] 。由于这里我们要求的频率是一次项的，所以时间频率可能根据波函数的性质有两种表示法。因此，我们需要再进行一些猜想。我们假设的粒子波与光波一样随着时间的变化进行顺时针旋转，即：
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-TSWoUBzR-1648560736365)(https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpsi%28r%2Ct%29%3D%5Cpsi%28r%2C0%29e%5E%7B-i%5Comega+t%7D)]
则我们可以通过对波函数求一阶导的方式获得其时间频率，即：
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-giCk084A-1648560736365)(https://www.zhihu.com/equation?tex=%7B%5Cpartial%5Cpsi%5Cover%5Cpartial+t%7D%3D-i%5Comega%5Cpsi)] ，因此我们有 [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-FODaWi9d-1648560736365)(https://www.zhihu.com/equation?tex=E%5Cpsi%3Di%5Chbar%28-i%5Comega%5Cpsi%29%3Di%5Chbar%7B%5Cpartial%5Cpsi%5Cover%5Cpartial+t%7D)] ，代入到定态薛定谔方程，我们得到了普通的薛定谔方程：
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-3tqpS2Mz-1648560736365)(https://www.zhihu.com/equation?tex=i%5Chbar%7B%5Cpartial%5Cpsi%5Cover%5Cpartial+t%7D%3D%5Chat%7BH%7D%5Cpsi+%5C%5C+i%5Chbar%7B%5Cpartial%5Cpsi%5Cover%5Cpartial+t%7D%3D%5Cleft%5B-%7B%5Chbar%5E2%5Cover2m%7D%5Cnabla%5E2%2BV%5Cright%5D%5Cpsi)]
同时有： p x i ^ = − i ℏ ∂ ∂ x i \hat{p_{x_i}}=-i\hbar\frac{\partial}{\partial x_i} pxi^=−iℏ∂xi∂
这个推起来也很容易，由于 Ψ 对 x 的 指 数 系 数 是 i k , 将 等 式 两 边 同 时 乘 以 Ψ ， 右 边 变 成 − i ℏ i k Ψ = ℏ k Ψ = p x i Ψ \Psi对x的指数系数是ik,将等式两边同时乘以\Psi，右边变成-i\hbar ik\Psi=\hbar k\Psi=p_{x_i}\Psi Ψ对x的指数系数是ik,将等式两边同时乘以Ψ，右边变成−iℏikΨ=ℏkΨ=pxiΨ
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波函数的统计诠释：
- 波函数所描写的是粒子在多维位形空间中概率分布的概率波。波函数包含了量子体系所有可以确定的信息，即波函数给定之后，粒子所有力学量的观察值的分布概率也就确定了。
- Ψ \Psi Ψ态粒子在 d τ d\tau dτ中出现的概率为${|\Psi(
- ∣ ( r ⃗ , t ) ∣ 2 d τ {|(\vec{r},t)|}^2 d\tau ∣(r,t)∣2dτ
- Ψ ( r ⃗ , t ) = A e i ( k x − ω t ) = A e − i h ( E t − p ⃗ ⋅ r ⃗ ) \Psi(\vec{r},t)=A e^{i(kx-\omega t)}=Ae^{-\frac{i}{h}(Et-\vec{p}\cdot\vec{r})} Ψ(r,t)=Aei(kx−ωt)=Ae−hi(Et−p⋅r)
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全同例子体系微观运动状态的量子规律。
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微观粒子的全同行原理：
任何两个全同粒子的交换不产生新的量子态。在全同多例子体系中，全同粒子交换时不变的状态时可以实现的。两个粒子的波函数不重叠时粒子可以分辨，重叠的时候粒子不可分辨。
Pauli原理：占据同一单粒子量子态的费米子不可能超过一个
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多维的平动子能级有简并只要平动量子数的和为同一个数，那么它们就同属于一个能级
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特点：
- 一维平动粒子状态用一个量子数表述
- 三维平动粒子的状态用三个量子数来表述
- 比较经典力学平动粒子的状态表述
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量子力学中的谐振子：
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在量子力学中谐振子的能量是分立的，与振幅无关。只依赖于振子固有特性–本征频率 ω \omega ω。同时，频率为 ω \omega ω的振子其能量的改变只能是能量单元h ν \nu ν的整数倍。但量子力学中振子的最低能级不再是 h ν h\nu hν而是 1 2 h ν \frac{1}{2}h\nu 21hν，称为零点能。
- 近独立系统的经典描述与量子描述的统一：
- 为了描述近独立粒子系的统计理论，将经典理论的子相空间按照量子态分区，每一个 △ μ \triangle \mu △μ的体积都取为多个 h s h^s hs对应一定数量的量子态，这样近独立粒子系统的经典描述和量子描述就统一起来了
- 在经典描述中，系统宏观分布以 △ μ j \triangle \mu_j △μj表示子相空间体元， ϵ j ( j = 1 , 2 , . . . ) \epsilon_j(j=1,2,...) ϵj(j=1,2,...)表示粒子在子相空间体元 △ μ j \triangle \mu_j △μj中的能量。
- 现在在量子描述下，上述的描述将变为：设有一个系统，由大量全同近独立的粒子组成，以 ϵ l ( l = 1 , 2 , . . . ) \epsilon_l(l=1,2,...) ϵl(l=1,2,...)表示粒子的能级， ω l \omega_l ωl表示能级 ϵ l \epsilon_l ϵl的简并度。即能级 ϵ l 上 面 有 a l 个 粒 子 \epsilon_l上面有a_l个粒子 ϵl上面有al个粒子。为了书写方便起见， 以 符 号 { a l } 表 示 数 列 a 1 , a 2 , . . . a l 以符号\{a_l\}表示数列a_1,a_2,...a_l 以符号{al}表示数列a1,a2,...al称为一个分布。
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△ μ j 与 ω l \triangle\mu_j与\omega_l △μj与ωl
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$ \omega_l=(2S+1)\frac{\triangle{\mu_l}}{h^r} $
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可以按照能级划分 △ μ \triangle \mu △μ
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也就是需要求出平衡态下面各个能级上的粒子数$ a_l $
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已知：能级简并度 ω l 个 量 子 态 内 \omega_l个量子态内 ωl个量子态内的平均分配
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ω l = ( 2 S + 1 ) △ μ l h r \omega_l=(2S+1)\frac{\triangle{\mu_l}}{h^r} ωl=(2S+1)hr△μl
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可以按照能级划分 △ μ \triangle \mu △μ
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也就是需要求出平衡态下面各个能级上的粒子数$ a_l $
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已知：能级简并度$ \omega_l个量子态内$的平均分配
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