机器学习算法（十二）：聚类（3）基于密度的聚类——DBSCAN聚类算法
目录
1 DBSCAN聚类算法
2 参数选择
3 步骤
4 实例
5 常用的评估方法：轮廓系数
6 DBSCAN 算法评价及改进
基于密度的聚类是根据样本的密度分布来进行聚类。通常情况下，密度聚类从样本密度的角度出来，来考查样本之间的可连接性，并基于可连接样本不断扩展聚类簇，以获得最终的聚类结果。其中最著名的算法就是 DBSCAN 算法。
DBSCAN（Density-Based Spatial Clustering of Applications with Noise，具有噪声的基于密度的聚类方法）是一种基于密度的空间聚类算法。 该算法将具有足够密度的区域划分为簇，并在具有噪声的空间数据库中发现任意形状的簇，它将簇定义为密度相连的点的最大集合。
1 DBSCAN聚类算法
如下图所示，下面这些点是分布在样本空间的众多样本，现在我们的目标是把这些在样本空间中距离相近的聚成一类。我们发现A点附近的点密度较大，红色的圆圈根据一定的规则在这里滚啊滚，最终收纳了A附近的5个点，标记为红色也就是定为同一个簇。其它没有被收纳的根据一样的规则成簇。（形象来说，我们可以认为这是系统在众多样本点中随机选中一个，围绕这个被选中的样本点画一个圆，规定这个圆的半径以及圆内最少包含的样本点，如果在指定半径内有足够多的样本点在内，那么这个圆圈的圆心就转移到这个内部样本点，继续去圈附近其它的样本点，类似传销一样，继续去发展下线。等到这个滚来滚去的圈发现所圈住的样本点数量少于预先指定的值，就停止了。那么我们称最开始那个点为核心点，如A，停下来的那个点为边界点，如B、C，没得滚的那个点为离群点，如N）。
基于密度这点有什么好处呢，我们知道kmeans聚类算法只能处理球形的簇，也就是一个聚成实心的团（这是因为算法本身计算平均距离的局限）。但往往现实中还会有各种形状，比如下面两张图，环形和不规则形，这个时候，那些传统的聚类算法显然就悲剧了。于是就思考，样本密度大的成一类，就是DBSCAN聚类算法。
2 参数选择
上面提到了红色圆圈滚啊滚的过程，这个过程就包括了DBSCAN算法的两个参数：半径 eps 和密度阈值 MinPts。
（1）半径：半径是最难指定的 ，大了，圈住的就多了，簇的个数就少了；反之，簇的个数就多了，这对我们最后的结果是有影响的。我们这个时候K距离可以帮助我们来设定半径r，也就是要找到突变点，比如：
以上虽然是一个可取的方式，但是有时候比较麻烦 ，大部分还是都试一试进行观察，用k距离需要做大量实验来观察，很难一次性把这些值都选准。
（2）MinPts:这个参数就是圈住的点的个数，也相当于是一个密度，一般这个值都是偏小一些，然后进行多次尝试
国外有一个特别有意思的网站：Visualizing DBSCAN Clustering，它可以把我们DBSCAN的迭代过程动态图画出来。
3 步骤
- 以每一个数据点 xi 为圆心，以 eps 为半径画一个圆圈。这个圆圈被称为 xi 的 eps 邻域
- 对这个圆圈内包含的点进行计数。如果一个圆圈里面的点的数目超过了密度阈值 MinPts，那么将该圆圈的圆心记为核心点，又称核心对象。如果某个点的 eps 邻域内点的个数小于密度阈值但是落在核心点的邻域内，则称该点为边界点。既不是核心点也不是边界点的点，就是噪声点。
- 核心点 xi 的 eps 邻域内的所有的点，都是 xi 的直接密度直达。如果 xj 由 xi 密度直达，xk 由 xj 密度直达。。。xn 由 xk 密度直达，那么，xn 由 xi 密度可达。这个性质说明了由密度直达的传递性，可以推导出密度可达。
- 如果对于 xk，使 xi 和 xj 都可以由 xk 密度可达，那么，就称 xi 和 xj 密度相连。将密度相连的点连接在一起，就形成了我们的聚类簇。
用更通俗易懂的话描述就是如果一个点的 eps 邻域内的点的总数小于阈值，那么该点就是低密度点。如果大于阈值，就是高密度点。如果一个高密度点在另外一个高密度点的邻域内，就直接把这两个高密度点相连，这是核心点。如果一个低密度点在高密度点的邻域内，就将低密度点连在距离它最近的高密度点上，这是边界点。不在任何高密度点的 eps 邻域内的低密度点，就是异常点。
- 噪声: 一个基于密度的簇是基于密度可达性的最大的密度相连对象的集合。不包含在任何簇中的对象被认为是“噪声”
- 边界点：边界点不是核心点，但落在某个核心点的邻域内。
周志华《机器学习》书上给的伪代码如下。
公式性有点强，用语义表达算法的伪码如下：
- 根据 eps 邻域和密度阈值 MinPts ，判断一个点是核心点、边界点或者离群点。并将离群点删除
- 如果核心点之间的距离小于 MinPts ，就将两个核心点连接在一起。这样就形成了若干组簇
- 将边界点分配到距离它最近的核心点范围内
- 形成最终的聚类结果
4 实例
根据所给的数据通过对其进行DBSCAN算法，以下为算法的步骤（设n=12，用户输入ε=1，MinPts=4）
DBSCAN聚类过程
第1步，在数据库中选择一点1，由于在以它为圆心的 以1为半径的圆内包含2个点（小于4），因此它不是核心点，选择下一个点。
第2步，在数据库中选择一点2，由于在以它为圆心的，以1为半径的圆内包含2个点， 因此它不是核心点，选择下一个点。
第3步，在数据库中选择一点3，由于在以它为圆心的，以1为半径的圆内包含3个点， 因此它不是核心点，选择下一个点。
第4步，在数据库中选择一点4，由于在以它为圆心的，以1为半径的圆内包含5个点， 因此它是核心点，寻找从它出发可达的点（直接可达4个，间接可达3个）， 聚出的新类{1，3，4，5，9，10，12}，选择下一个点。
第5步，在数据库中选择一点5，已经在簇1中，选择下一个点。
第6步，在数据库中选择一点6，由于在以它为圆心的，以1为半径的圆内包含3个点， 因此它不是核心点，选择下一个点。
第7步，在数据库中选择一点7，由于在以它为圆心的，以1为半径的圆内包含5个点， 因此它是核心点，寻找从它出发可达的点，聚出的新类{2，6，7，8，11}，选择下一个点。
第8步，在数据库中选择一点8，已经在簇2中，选择下一个点。
第9步，在数据库中选择一点9，已经在簇1中，选择下一个点。
第10步，在数据库中选择一点10，已经在簇1中，选择下一个点。
第11步，在数据库中选择一点11，已经在簇2中，选择下一个点。
第12步，选择12点，已经在簇1中，由于这已经是最后一点所有点都以处理，程序终止。
算法执行过程：
5 常用的评估方法：轮廓系数
聚类算法中最常用的评估方法——轮廓系数（Silhouette Coefficient）：
计算样本i到同簇其它样本到平均距离ai。ai越小，说明样本i越应该被聚类到该簇（将ai称为样本i到簇内不相似度）。
计算样本i到其它某簇Cj的所有样本的平均距离bij，称为样本i与簇Cj的不相似度。定义为样本i的簇间不相似度： bi=min(bi1,bi2,...,bik2)
- si接近1，则说明样本i聚类合理
- si接近-1，则说明样本i更应该分类到另外的簇
- 若si近似为0，则说明样本i在两个簇的边界上
6 DBSCAN 算法评价及改进
DBSCAN优点：
1、对噪声不敏感。这是因为该算法能够较好地判断离群点，并且即使错判离群点，对最终的聚类结果也没什么影响
2、能发现任意形状的簇。这是因为DBSCAN 是靠不断连接邻域呢高密度点来发现簇的，只需要定义邻域大小和密度阈值，因此可以发现不同形状，不同大小的簇
DBSCAN 缺点：
1、对两个参数的设置敏感，即圈的半径 eps 、阈值 MinPts。
2、DBSCAN 使用固定的参数识别聚类。显然，当聚类的稀疏程度不同，聚类效果也有很大不同。即数据密度不均匀时，很难使用该算法
3、如果数据样本集越大，收敛时间越长。此时可以使用 KD 树优化
DBSCAN的时间复杂性：
DBSCAN算法要对每个数据对象进行邻域检查时间性能较低。DBSCAN的基本时间复杂度是 O(N*找出Eps领域中的点所需要的时间), N是点的个数。 最坏情况下时间复杂度是O(N2)在低维空间数据中,有一些数据结构如KD树，使得可以有效的检索特定点给定距离内的所有点， 时间复杂度可以降低到O(NlogN)。
DBSCAN的空间复杂性：
在聚类过程中，DBSCAN一旦找到一个核心对象，即以该核心对象为中心向外扩展。 此过程中核心对象将不断增多，未处理的对象被保留在内存中。若数据库中存在庞大的聚类， 将需要很大的存来存储核心对象信息，其需求难以预料。当数据量增大时，要求较大的内存支持 I/0 消耗也很大；低维或高维数据中，其空间都是O(N)。
常用聚类算法(基于密度的聚类算法 - StormTides - 博客园
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Visualizing DBSCAN Clustering