数学建模-插值和拟合

插值和拟合

2021.8.11《数学建模算法与应用》读书笔记

一、定义

(1)插值：

​ 求过已知有限个数据点的近似函数。

(2)拟合：

​ 已知有限个数据点，求近似函数，不要求过已知数据点，只要求在某种意义

下它在这些点上的总偏差最小。

(3)数据插值和曲线拟合比较

①相同点

1、都属于函数逼近的方法

2、都能进行数据估算

②不同点

1、实现方法不同

数据插值要求逼近函数经过样本点，曲线拟合只要求总体误差最小

2、结果形式不同

数据插值分段进行逼近，没有统一的逼近函数。

曲线拟合有确定的逼近函数表达式。

3、侧重点不同

数据插值一般用于样本区间内的插值计算。

曲线拟合不仅可以估算区间内其他点的函数值，还可以预测持续数字的发展。

4、应用场合不同

样本数据是精确数据，适合采用数据插值方法。

样本数据统计数据，存在误差，适合用曲线拟合的方法。

二、插值方法

(1)常用的插值分类

• 拉格朗日多项式插值

• 牛顿插值

• 分段线性插值

• Hermite 插值

• 三次样条插值。

(2)拉格朗日多项式插值(Lagrange插值)

2.1.1 插值多项式

2.1.2 拉格朗日插值多项式

2.1.3 Matlab实现Lagrange 插值

• lagrange.m

%{
设n 个节点数据以数组 x0, y0输入（注意 Matlat 的数组下标从 1 开始），m 个插值
点以数组 x 输入，输出数组 y 为m 个插值。

    参数输入:
        x0,y0是原有的数据
        x为插值点(范围)
    参数输出
        y为x的插值输出
%}
function y=lagrange(x0,y0,x);
n=length(x0);m=length(x);
for i=1:m
    z=x(i);
    s=0.0;
    for k=1:n
        p=1.0;
        for j=1:n
            if j~=k
                p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));
            end
        end
        s=p*y0(k)+s;
    end
    y(i)=s;
end

• 实例测试

% 拉格朗日插值法

% 原始数据
x0 = 0:0.1:1;
y0 = [-0.447,1.978,3.28,6.16,7.08,7.34,7.66,9.56,9.48,9.3,11.2];
hold on;
grid on;
plot(x0,y0,'b*')

% 插值点
x = 0:0.01:1;
% 拉格朗日多项式插值
y = lagrange(x0,y0,x);
plot(x,y,'r--');
legend('原始数据','拉格朗日插值','Location','North');

• 测试结果
  

(3)牛顿插值(Newton)

3.1 差商(预备知识)

3.2 牛顿插值公式

代码来自https://blog.csdn.net/seamanj/article/details/37562791

• newton.m

%   newton.m
%   求牛顿插值多项式、差商、插值及其误差估计的MATLAB主程序
%   输入的量:X是n+1个节点(x_i,y_i)(i = 1,2, ... , n+1)横坐标向量，Y是纵坐标向量，
%   x是以向量形式输入的m个插值点，M在[a,b]上满足｜f~(n+1)(x)｜≤M
%   注：f~(n+1)(x)表示f(x)的n+1阶导数
%   输出的量：向量y是向量x处的插值，误差限R，n次牛顿插值多项式L及其系数向量C，
%   差商的矩阵A
function[y,R,A,C,L] = newton(X,Y,x,M)
n = length(X);
m = length(x);
for t = 1 : m
    z = x(t);
    A = zeros(n,n);
    A(:,1) = Y';
    s = 0.0; p = 1.0; q1 = 1.0; c1 = 1.0;
        for j = 2 : n
            for i = j : n
                A(i,j) = (A(i,j-1) - A(i-1,j-1))/(X(i)-X(i-j+1));
            end
            q1 = abs(q1*(z-X(j-1)));
            c1 = c1 * j;
        end
        C = A(n, n); q1 = abs(q1*(z-X(n)));
        for k = (n-1):-1:1
            C = conv(C, poly(X(k)));
            d = length(C);
            C(d) = C(d) + A(k,k);%在最后一维，也就是常数项加上新的差商
        end
        y(t) = polyval(C,z);
        R(t) = M * q1 / c1;
end
L = poly2sym(C);

• 实例运行

X = [0 pi/6 pi/4 pi/3 pi/2];  
Y = [0 0.5 0.7071 0.8660 1];  
x = linspace(0,pi,50);  
hold on;
grid on;
M = 1;  
[y,R,A,C,L] = newton(X, Y, x, M); 
plot(X,Y,'r*');
plot(x,y,'b--');
legend('原始数据','牛顿插值');

• 运行结果
  

对于其他的一些插值方法就不放原理了。直接掌握使用方式和使用情况。

(4)分段线性插值

①定义

将每两个相邻的节点用直线连起来，如此形成的一条折线就是分段线性插值函数

②Lagrange的问题

③matlab实现

代码看后文样条插值

(5)埃尔米特(Hermite)插值

①定义

如果对插值函数，不仅要求它$在节点处与函数同值$，而且要求它$与函数有相同的一阶、二阶甚至更高阶的导数值$，这就是 Hermite 插值问题。

②代码实现

• hermite.m

%{
    设n 个节点的数据以
    数组 x0 （已知点的横坐标）
    y0 （函数值）
    y1（导数值）
    输入（注意 Matlat 的数组下标从 1 开始）
    m 个插值点以数组 x 输入
    输出数组 y 为m个插值
%}
function y=hermite(x0,y0,y1,x);
n=length(x0);m=length(x);
for k=1:m
    yy=0.0;
    for i=1:n
        h=1.0;
        a=0.0;
        for j=1:n
            if j~=i
                h=h*((x(k)-x0(j))/(x0(i)-x0(j)))^2;
                a=1/(x0(i)-x0(j))+a;
            end
        end
        yy=yy+h*((x0(i)-x(k))*(2*a*y0(i)-y1(i))+y0(i));
    end
    y(k)=yy;
end

(6)样条插值(Spline)

许多工程技术中提出的计算问题对插值函数的光滑性有较高要求，如飞机的机翼外形，内燃机的进、排气门的凸轮曲线，都要求曲线具有较高的光滑程度，不仅要连续，而且要有连续的曲率，这就导致了样条插值的产生。

分段线性插值是一次样条插值。

• 代码示例

% Lagrange插值、分段线性插值、三次样条插值
clc,clear
x0 = [0 3 5 7 9 11 12 13 14 15];
y0 = [0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6];
x = 0:0.1:15;
%   调用前面编写的Lagrange插值函数
y1 = lagrange(x0,y0,x); 

%   分段线性插值
y2 = interp1(x0,y0,x);

%   三次样条插值
y3 = interp1(x0,y0,x,'spline');

%   边界为Largrange的三次样条插值
pp1 = csape(x0,y0); y4=ppval(pp1,x);

%   边界为二阶导数的三次样条插值
pp2 = csape(x0,y0,'second'); y5 = ppval(pp2,x);
fprintf('比较一下不同插值方法和边界条件的结果:\n')
fprintf('x y1 y2 y3 y4 y5\n')
xianshi=[x',y1',y2',y3',y4',y5'];
fprintf('%f\t%f\t%f\t%f\t%f\t%f\n',xianshi')
subplot(2,3,1), plot(x0,y0,'+',x,y1), title('Lagrange')
subplot(2,3,2), plot(x0,y0,'+',x,y2), title('Piecewise linear')
subplot(2,3,3), plot(x0,y0,'+',x,y3), title('Spline1')
subplot(2,3,4), plot(x0,y0,'+',x,y4), title('Spline2')
subplot(2,3,5), plot(x0,y0,'+',x,y5), title('Spline3')
dyx0=ppval(fnder(pp1),x0(1)) %求x=0处的导数
ytemp=y3(131:151);
index=find(ytemp==min(ytemp));
xymin=[x(130+index),ytemp(index)]

• 运行结果
  
• 结论
• 可以看出，拉格朗日插值的结果根本不能应用，分段线性插值的光滑性较差（特别
  是在 x = 14 附近弯曲处），建议选用三次样条插值的结果。

(7)二维插值

①单调递增

前面讲述的都是一维插值，即节点为一维变量，插值函数是一元函数（曲线）。若节点是二维的，插值函数就是二元函数，即曲面。如在某区域测量了若干点（节点）的高程（节点值），为了画出较精确的等高线图，就要先插入更多的点（插值点），计算这些点的高程（插值）。
调用格式：Z1=interp2(X,Y,Z,X1,Y1,method)
其中，X、Y是两个向量，表示两个参数的采样点，Z是采样点对应的函数值。X1、Y1是两个标量或向量，表示要插值的点。
tips

shading函数说明：
是阴影函数控制曲面和图形对象的颜色着色，即用来处理色彩效果的，包括以下三种形式:

shading faceted：默认模式，在曲面或图形对象上叠加黑色的网格线；

shading flat：是在shading faceted的基础上去掉图上的网格线；

shading interp：对曲面或图形对象的颜色着色进行色彩的插值处理，使色彩平滑过渡

• 代码示例

%{
    例2 在一丘陵地带测量高程，x 和 y 方向每隔100米测一个点，得高程如2表，试插
    值一曲面，确定合适的模型，并由此找出最高点和该点的高程。
%}
% 二维插值
clear,clc 
x=100:100:500; 
y=100:100:400; 
z=[636 697 624 478 450 
 698 712 630 478 420
 680 674 598 412 400 
 662 626 552 334 310]; 
% hold on;

xi = 100:10:500;yi=100:10:400 
% 三次样条插值注意得到的cz1需要到转一下
pp = csape({x,y},z') 
cz1 = fnval(pp,{xi,yi}) 

% 二维插值
cz2 = interp2(x,y,z,xi,yi','spline') 
surfl(x,y,z-400);
hold on;
surfl(xi,yi,cz1');
surfl(xi,yi,cz2+400);
[i,j] = find(cz1==max(max(cz1))) 
x = xi(i),y=yi(j),zmax=cz1(i,j)

• 运行结果
  

②插值节点为散乱节点

已知n 个节点：(xi , yi ,zi)(i = 1,2,L,n)，求点(x, y)处的插值 z 。对上述问题，Matlab 中提供了插值函数 griddata，其格式为：
ZI = GRIDDATA(X,Y,Z,XI,YI,method)

• method选项
  • ‘linear’：基于三角形的线性插值（缺省算法）；
  • ‘cubic’： 基于三角形的三次插值；
  • ‘nearest’：最邻近插值法；

其中 X、Y、Z 均为 n 维向量，指明所给数据点的横坐标、纵坐标和竖坐标。向量 XI、
YI 是给定的网格点的横坐标和纵坐标，返回值 ZI 为网格（XI，YI）处的函数值。XI
与 YI 应是方向不同的向量，即一个是行向量，另一个是列向量。

• 实例
  
• 代码

%   插值节点为散乱节点
x=[129 140 103.5 88 185.5 195 105 157.5 107.5 77 81 162 162 117.5]; 
y=[7.5 141.5 23 147 22.5 137.5 85.5 -6.5 -81 3 56.5 -66.5 84 -33.5]; 
z=-[4 8 6 8 6 8 8 9 9 8 8 9 4 9];
xi=75:1:200; 
yi=-50:1:150; 
zi=griddata(x,y,z,xi,yi','cubic') 
subplot(1,2,1), plot(x,y,'*') 
subplot(1,2,2), mesh(xi,yi,zi)

• 运行结果
  

(8)B 样条函数插值方法

实际中的许多问题，往往是既要求近似函数（曲线或曲面）有足够的光滑性，又要求与实际函数相同的凹凸性，一般插值函数和样条函数都不具有这种性质。如果对于一个特殊函数进行磨光处理生成磨光函数（多项式），则用磨光函数构造出样条函数作为插值函数，既有足够的光滑性，而且也具有较好的保凹凸性，因此磨光函数在一维插值（曲线）和二维插值（曲面）问题中有着广泛的应用。
由积分理论可知，对于可积函数通过积分会提高函数的光滑度，因此，我们可以利用积分方法对函数进行磨光处理。

三、拟合方法

曲线拟合问题的提法是，已知一组（二维）数据，即平面上的n 个点(xi , yi) ， i = 1,2,L,n ， xi 互不相同，寻求一个函数（曲线）y = f (x) ，使 f (x)在某种准则下与所有数据点最为接近，即曲线拟合得最好。



对于指数曲线，拟合前需作变量代换，化为对a1,a2 的线性函数。
已知一组数据，用什么样的曲线拟合最好，可以在直观判断的基础上，选几种曲线
分别拟合，然后比较，看哪条曲线的最小二乘指标 J 最加粗样式小。

(1)解方程法

• 例题
  

• 代码

%   解方程拟合
x=[19 25 31 38 44]'; 
y=[19.0 32.3 49.0 73.3 97.8]'; 
r=[ones(5,1),x.^2]; 
ab=r\y 
x0=19:0.1:44; 
y0=ab(1)+ab(2)*x0.^2; 
plot(x,y,'o',x0,y0,'r')

• 运行结果
  

(2)多项式拟合方法

polyfit()

函数功能：求得最小二乘拟合多项式系数。
调用格式：
①P=polyfit(X,Y,m)
②[P,S]=polyfit(X,Y,m)
③[P,S,mu]=polyfit(X,Y,m)
其中输入参数 x0,y0 为要拟合的数据，m 为拟合多项式的次数，输出参数 p 为拟合多项
式。根据样本数据X和Y，产生一个m次多项式P及其在采样点误差数据S，m为几次拟合，mu是一个二元向量，mu(1)是mean(X),而mu(2)是std(X).

• 例题
  

• 代码

% 多项式拟合
% 原始数据
x0=[1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996]; 
y0=[70 122 144 152 174 196 202]; 
% 画散点图
plot(x0,y0,'*') 
hold on;
a=polyfit(x0,y0,1) 
x = 1990:0.1:2000;
y = polyval(a,x);
plot(x,y,'r--');
y97=polyval(a,1997) 
y98=polyval(a,1998)
a =

   1.0e+04 *

    0.0021   -4.0705


y97 =

  233.4286


y98 =

  253.9286

• 运行结果
  

(3)最小二乘优化

在无约束最优化问题中，有些重要的特殊情形，比如目标函数由若干个函数的平
方和构成。

①lsqlin 函数

x=lsqlin(C,d,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)

% 用 lsqlin 命令求解例 4。
x=[19 25 31 38 44]'; 
y=[19.0 32.3 49.0 73.3 97.8]'; 
r=[ones(5,1),x.^2]; 
ab=lsqlin(r,y) 
x0=19:0.1:44; 
y0=ab(1)+ab(2)*x0.^2; 
plot(x,y,'o',x0,y0,'r')

②lsqcurvefit 函数

X=LSQCURVEFIT(FUN,X0,XDATA,YDATA,LB,UB,OPTIONS)
其中 FUN 是定义函数F(x, xdata)的 M 文件。

• 例题
  
• 编写 M 文件 fun1.m 定义函数 F(x,tdata)：

function f=fun1(x,tdata); 
f=x(1)+x(2)*exp(-0.02*x(3)*tdata); %其中 x(1)=a，x(2)=b，x(3)=k

• 调用函数lsqcurvefit

td=100:100:1000; 
cd=[4.54 4.99 5.35 5.65 5.90 6.10 6.26 6.39 6.50 6.59]; 
x0=[0.2 0.05 0.05]; 
x=lsqcurvefit(@fun1,x0,td,cd)

③lsqnonlin 函数

X=LSQNONLIN(FUN,X0,LB,UB,OPTIONS)
其中 FUN 是定义向量函数F(x)的 M 文件。

• 编写 M 文件 fun2.m

function f=fun2(x); 
td=100:100:1000; 
cd=[4.54 4.99 5.35 5.65 5.90 6.10 6.26 6.39 6.50 6.59]; 
f=x(1)+x(2)*exp(-0.02*x(3)*td)-cd;

• 调用函数lsqnonlin

x0=[0.2 0.05 0.05]; %初始值是任意取的 
x=lsqnonlin(@fun2,x0)

④lsqnonneg 函数

X = LSQNONNEG(C,d,X0,OPTIONS)

c=[0.0372 0.2869;0.6861 0.7071;0.6233 0.6245;0.6344 0.6170]; 
d=[0.8587;0.1781;0.0747;0.8405]; 
x=lsqnonneg(c,d)

(4)曲线拟合与函数逼近

• 例题
  
• 代码

syms x 
base=[1,x^2,x^4]; 
y1=base.'*base 
y2=cos(x)*base.' 
r1=int(y1,-pi/2,pi/2) 
r2=int(y2,-pi/2,pi/2) 
a=r1\r2 
xishu1=double(a) 
digits(8),xishu2=vpa(a)

(5)实战

黄河小浪底调水调沙问题

• 问题提出
  
• 模型的建立与求解
  
  对于问题（1），根据所给问题的试验数据，要计算任意时刻的排沙量，就要确定出排沙量随时间变化的规律，可以通过插值来实现。考虑到实际中的排沙量应该是时间的连续函数，为了提高模型的精度，我们采用三次样条函数进行插值。

• 三次样条程序

clc,clear 
load data.txt %data.txt 按照原始数据格式把水流量和排沙量排成 4 行，12 列
liu=data([1,3],:); 
liu=liu';
liu=liu(:); 
sha=data([2,4],:); 
sha=sha';sha=sha(:); 
y=sha.*liu;y=y'; 
i=1:24; 
t=(12*i-4)*3600; 
t1=t(1);t2=t(end); 
pp=csape(t,y); 
xsh=pp.coefs %求得插值多项式的系数矩阵，每一行是一个区间上多项式的系数。
TL=quadl(@(tt)ppval(pp,tt),t1,t2)

• 或者是3 次 B 样条函数进行插值

clc,clear 
load data.txt %data.txt 按照原始数据格式把水流量和排沙量排成 4 行，12 列
liu=data([1,3],:); 
liu=liu';liu=liu(:); 
sha=data([2,4],:); 
sha=sha';sha=sha(:); 
y=sha.*liu;y=y'; 
i=1:24; 
t=(12*i-4)*3600; 
t1=t(1);t2=t(end); 
pp=spapi(4,t,y) %三次 B 样条
pp2=fn2fm(pp,'pp') %把 B 样条函数转化为 pp 格式
TL=quadl(@(tt)fnval(pp,tt),t1,t2)

对于问题（2），研究排沙量与水量的关系，从试验数据可以看出，开始排沙量是随着水流量的增加而增长，而后是随着水流量的减少而减少。显然，变化规律并非是线性的关系，为此，把问题分为两部分，从开始水流量增加到最大值 2720m3/s（即增长的过程）为第一阶段，从水流量的最大值到结束为第二阶段，分别来研究水流量与排沙量的关系。

• 排沙量与水流量的散点图

%   画散点图
load data.txt 
liu=data([1,3],:); 
liu=liu';liu=liu(:); 
sha=data([2,4],:); 
sha=sha';sha=sha(:); 
y=sha.*liu; 
subplot(1,2,1), plot(liu(1:11),y(1:11),'*') 
subplot(1,2,2), plot(liu(12:24),y(12:24),'*')

%   拟合
clc, clear
load data.txt %data.txt 按照原始数据格式把水流量和排沙量排成 4 行，12 列
liu=data([1,3],:); liu=liu'; liu=liu(:);
sha=data([2,4],:); sha=sha'; sha=sha(:);
y=sha.*liu;
%以下是第一阶段的拟合
format long e
nihe1_1=polyfit(liu(1:11),y(1:11),1) %拟合一次多项式，系数排列从高次幂到低次幂
nihe1_2=polyfit(liu(1:11),y(1:11),2)
yhat1_1=polyval(nihe1_1,liu(1:11)); %求预测值
yhat1_2=polyval(nihe1_2,liu(1:11));
%以下求误差平方和与剩余标准差
cha1_1=sum((y(1:11)-yhat1_1).^2); rmse1_1=sqrt(cha1_1/9)
cha1_2=sum((y(1:11)-yhat1_2).^2); rmse1_2=sqrt(cha1_2/8)
%以下是第二阶段的拟合
for j=1:3
    str1=char(['nihe2_' int2str(j) '=polyfit(liu(12:24),y(12:24),' int2str(j+1) ')']);
    eval(str1)
    str2=char(['yhat2_' int2str(j) '=polyval(nihe2_' int2str(j) ',liu(12:24));']);
    eval(str2)
    str3=char(['cha2_' int2str(j) '=sum((y(12:24)-yhat2_' int2str(j) ').^2);'...
        'rmse2_' int2str(j) '=sqrt(cha2_' int2str(j) '/(11-j))']);
    eval(str3)
end
format

四、全部代码

% 拉格朗日插值法

% 原始数据
x0 = 0:0.1:1;
y0 = [-0.447,1.978,3.28,6.16,7.08,7.34,7.66,9.56,9.48,9.3,11.2];
hold on;
grid on;
plot(x0,y0,'b*')

% 插值点
x = 0:0.01:1;
% 拉格朗日多项式插值
y = lagrange(x0,y0,x);
plot(x,y,'r--');
legend('原始数据','拉格朗日插值','Location','North');


% 
X = [0 pi/6 pi/4 pi/3 pi/2];  
Y = [0 0.5 0.7071 0.8660 1];  
x = linspace(0,pi,50);  
hold on;
grid on;
M = 1;  
[y,R,A,C,L] = newton(X, Y, x, M); 
plot(X,Y,'r*');
plot(x,y,'b--');
legend('原始数据','牛顿插值');




% Lagrange插值、分段线性插值、三次样条插值
clc,clear
x0 = [0 3 5 7 9 11 12 13 14 15];
y0 = [0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6];
x = 0:0.1:15;
%   调用前面编写的Lagrange插值函数
y1 = lagrange(x0,y0,x); 

%   分段线性插值
y2 = interp1(x0,y0,x);

%   三次样条插值
y3 = interp1(x0,y0,x,'spline');

%   边界为Largrange的三次样条插值
pp1 = csape(x0,y0); y4=ppval(pp1,x);

%   边界为二阶导数的三次样条插值
pp2 = csape(x0,y0,'second'); y5 = ppval(pp2,x);
fprintf('比较一下不同插值方法和边界条件的结果:\n')
fprintf('x y1 y2 y3 y4 y5\n')
xianshi=[x',y1',y2',y3',y4',y5'];
fprintf('%f\t%f\t%f\t%f\t%f\t%f\n',xianshi')
subplot(2,3,1), plot(x0,y0,'+',x,y1), title('Lagrange')
subplot(2,3,2), plot(x0,y0,'+',x,y2), title('Piecewise linear')
subplot(2,3,3), plot(x0,y0,'+',x,y3), title('Spline1')
subplot(2,3,4), plot(x0,y0,'+',x,y4), title('Spline2')
subplot(2,3,5), plot(x0,y0,'+',x,y5), title('Spline3')
dyx0=ppval(fnder(pp1),x0(1)) %求x=0处的导数
ytemp=y3(131:151);
index=find(ytemp==min(ytemp));
xymin=[x(130+index),ytemp(index)]



%{
    例2 在一丘陵地带测量高程，x 和 y 方向每隔100米测一个点，得高程如2表，试插
    值一曲面，确定合适的模型，并由此找出最高点和该点的高程。
%}
% 二维插值
clear,clc 
x=100:100:500; 
y=100:100:400; 
z=[636 697 624 478 450 
 698 712 630 478 420
 680 674 598 412 400 
 662 626 552 334 310]; 
% hold on;

xi = 100:10:500;yi=100:10:400 
% 三次样条插值注意得到的cz1需要到转一下
pp = csape({x,y},z') 
cz1 = fnval(pp,{xi,yi}) 

% 二维插值
cz2 = interp2(x,y,z,xi,yi','spline') 
surfl(x,y,z-400);
hold on;
surfl(xi,yi,cz1');
surfl(xi,yi,cz2+400);
[i,j] = find(cz1==max(max(cz1))) 
x = xi(i),y=yi(j),zmax=cz1(i,j)


%   插值节点为散乱节点
x=[129 140 103.5 88 185.5 195 105 157.5 107.5 77 81 162 162 117.5]; 
y=[7.5 141.5 23 147 22.5 137.5 85.5 -6.5 -81 3 56.5 -66.5 84 -33.5]; 
z=-[4 8 6 8 6 8 8 9 9 8 8 9 4 9];
xi=75:1:200; 
yi=-50:1:150; 
zi=griddata(x,y,z,xi,yi','cubic') 
subplot(1,2,1), plot(x,y,'*') 
subplot(1,2,2), mesh(xi,yi,zi)





%   解方程拟合
x=[19 25 31 38 44]'; 
y=[19.0 32.3 49.0 73.3 97.8]'; 
r=[ones(5,1),x.^2]; 
ab=r\y 
x0=19:0.1:44; 
y0=ab(1)+ab(2)*x0.^2; 
plot(x,y,'o',x0,y0,'r')


% 多项式拟合
% 原始数据
x0=[1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996]; 
y0=[70 122 144 152 174 196 202]; 
% 画散点图
plot(x0,y0,'*') 
hold on;
a=polyfit(x0,y0,1) 
x = 1990:0.1:2000;
y = polyval(a,x);
plot(x,y,'r--');
y97=polyval(a,1997) 
y98=polyval(a,1998)




% 用 lsqlin 命令求解例 4。
x=[19 25 31 38 44]'; 
y=[19.0 32.3 49.0 73.3 97.8]'; 
r=[ones(5,1),x.^2]; 
ab=lsqlin(r,y) 
x0=19:0.1:44; 
y0=ab(1)+ab(2)*x0.^2; 
plot(x,y,'o',x0,y0,'r')


    
%   插值

clc,clear 
load data.txt %data.txt 按照原始数据格式把水流量和排沙量排成 4 行，12 列
liu=data([1,3],:); 
liu=liu';
liu=liu(:); 
sha=data([2,4],:); 
sha=sha';sha=sha(:); 
y=sha.*liu;y=y'; 
i=1:24; 
t=(12*i-4)*3600; 
t1=t(1);t2=t(end); 
pp=csape(t,y); 
xsh=pp.coefs %求得插值多项式的系数矩阵，每一行是一个区间上多项式的系数。
TL=quadl(@(tt)ppval(pp,tt),t1,t2)


%   画散点图
load data.txt 
liu=data([1,3],:); 
liu=liu';liu=liu(:); 
sha=data([2,4],:); 
sha=sha';sha=sha(:); 
y=sha.*liu; 
subplot(1,2,1), plot(liu(1:11),y(1:11),'*') 
subplot(1,2,2), plot(liu(12:24),y(12:24),'*')

%   拟合
clc, clear
load data.txt %data.txt 按照原始数据格式把水流量和排沙量排成 4 行，12 列
liu=data([1,3],:); liu=liu'; liu=liu(:);
sha=data([2,4],:); sha=sha'; sha=sha(:);
y=sha.*liu;
%以下是第一阶段的拟合
format long e
nihe1_1=polyfit(liu(1:11),y(1:11),1) %拟合一次多项式，系数排列从高次幂到低次幂
nihe1_2=polyfit(liu(1:11),y(1:11),2)
yhat1_1=polyval(nihe1_1,liu(1:11)); %求预测值
yhat1_2=polyval(nihe1_2,liu(1:11));
%以下求误差平方和与剩余标准差
cha1_1=sum((y(1:11)-yhat1_1).^2); rmse1_1=sqrt(cha1_1/9)
cha1_2=sum((y(1:11)-yhat1_2).^2); rmse1_2=sqrt(cha1_2/8)
%以下是第二阶段的拟合
for j=1:3
    str1=char(['nihe2_' int2str(j) '=polyfit(liu(12:24),y(12:24),' int2str(j+1) ')']);
    eval(str1)
    str2=char(['yhat2_' int2str(j) '=polyval(nihe2_' int2str(j) ',liu(12:24));']);
    eval(str2)
    str3=char(['cha2_' int2str(j) '=sum((y(12:24)-yhat2_' int2str(j) ').^2);'...
        'rmse2_' int2str(j) '=sqrt(cha2_' int2str(j) '/(11-j))']);
    eval(str3)
end
format