错排问题 & 例题详解

错排问题

n个有序的元素应有n!个不同的排列，如若一个排列使得所有的元素不在原来的位置上，则称这个排列为错排；有的叫重排。——百度百科

嗯，这就是错排

例题引入

例题1

LGOJ P1595 信封问题
我们读完题后，发现这是一道相当裸的错排题
我们考虑使用递推的方法求解。
设$D[n]$表示将$n$个元素错排后可得到的方案数
我们一般分以下几步考虑如何求$D[n]$：
1、将第$n$号元素放到前$n-1$个位置上去（设这个位置原来的元素是$k$），方案数是$n-1$.
2、考虑第$k$个元素怎么办
（1）若第$k$个元素放到第$n$个位置上去，其余$n-2$个元素可以随意错排，方案数为$D[n-2]$
（2）若第$k$个元素不放到第$n$个位置上去，则包括$k$在内的$n-1$个元素可以随意错排，方案数为$D[n-1]$
综合（1）（2），由加法原理可得，第2、种情况的总方案数为$D[n-2]+D[n-1]$

再综合1、2、，由乘法原理可得，$D[n]=(n-1)(D[n-2]+D[n-1])$
这就是错排数的计算公式！
好的，推了这么多，这道题总算能A了

代码

#define USEFASTERREAD 1 

#define rg register
#define inl inline
#define DEBUG printf("[Passing [%s] in line %d.]\n", __func__, __LINE__)
#define putline putchar('\n')
#define putsp putchar(' ')
#define Rep(a, s, t) for(rg int a = s; a <= t; a++)
#define Repdown(a, t, s) for(rg int a = t; a >= s; a--)
typedef long long ll;
#include

#if USEFASTERREAD
char In[1 << 20], *ss = In, *tt = In;
#define getchar() (ss == tt && (tt = (ss = In) + fread(In, 1, 1 << 20, stdin), ss == tt) ? EOF : *ss++)
#endif
struct IO {
	void RS() {freopen("test.in", "r", stdin), freopen("test.out", "w", stdout);} 
	template<typename T> inline IO r(T& x)const	{
	    x = 0; T f = 1; char ch = getchar();
	    for(; ch < '0' || ch > '9'; ch = getchar()) if(ch == '-') f = -1;
	    for(; ch >= '0' && ch <= '9'; ch = getchar()) x = x * 10 + int(ch - '0');
	    x *= f; return *this;
	}
	template<typename T> inline IO w(T x)const {
	    if(x < 0) {putchar('-'); x = -x;}
	    if(x >= 10) w(x / 10);
	    putchar(x % 10 + '0'); return *this;
	}
	template<typename T> inline IO wl(const T& x)const {w(x), putline; return *this;}
	template<typename T> inline IO ws(const T& x)const {w(x), putsp; return *this;}
	inline IO l() {putline; return *this;}
	inline IO s() {putline; return *this;}
}io;
template<typename T> inline T Max(const T& x, const T& y) {return y < x ? x : y;}
template<typename T> inline T Min(const T& x, const T& y) {return y < x ? y : x;}
template<typename T> inline void Swap(T& x, T& y) {T tmp = x; x = y; y = tmp;}
template<typename T> inline T Abs(const T& x) {return x > 0 ? x : -x;} 
int n;
ll f[25]; 


int main() {
    //io.RS();
    io.r(n);
    f[1] = 0; f[2] = 1;
    for(rg int i = 3; i <= n; i++)
    	f[i] = (i - 1) * (f[i - 2] + f[i - 1]);
    io.wl(f[n]);
    return 0;
}

例题2

P3182 [HAOI2016]放棋子
这是道很垃圾的省选题
好的。这题本质上还是一道错排裸题。
我们看看输入的矩阵
$$\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$$
既然我们要求的是方案数，这玩意和
$$\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$$
是等价的。
我们可以这样说：第一行的元素不能放第一格，第二行的元素不能放第二格…并且元素不能在同一列。
这不就是裸的错排吗！
ok，和我一起背公式：
$$D[n]=(n-1)(D[n-2]+D[n-1])$$
好的，我们把第一道例题的照搬过去就好了嘛。才怪
这道题毕竟是道省选题。还要打个高精。

代码

#define USEFASTERREAD 1 

#define rg register
#define inl inline
#define DEBUG printf("[Passing [%s] in line %d.]\n", __func__, __LINE__)
#define putline putchar('\n')
#define putsp putchar(' ')
#define Rep(a, s, t) for(rg int a = s; a <= t; a++)
#define Repdown(a, t, s) for(rg int a = t; a >= s; a--)
typedef long long ll;
#include

#if USEFASTERREAD
char In[1 << 20], *ss = In, *tt = In;
#define getchar() (ss == tt && (tt = (ss = In) + fread(In, 1, 1 << 20, stdin), ss == tt) ? EOF : *ss++)
#endif
struct IO {
	void RS() {freopen("test.in", "r", stdin), freopen("test.out", "w", stdout);} 
	template<typename T> inline IO r(T& x)const	{
	    x = 0; T f = 1; char ch = getchar();
	    for(; ch < '0' || ch > '9'; ch = getchar()) if(ch == '-') f = -1;
	    for(; ch >= '0' && ch <= '9'; ch = getchar()) x = x * 10 + int(ch - '0');
	    x *= f; return *this;
	}
	template<typename T> inline IO w(T x)const {
	    if(x < 0) {putchar('-'); x = -x;}
	    if(x >= 10) w(x / 10);
	    putchar(x % 10 + '0'); return *this;
	}
	template<typename T> inline IO wl(const T& x)const {w(x), putline; return *this;}
	template<typename T> inline IO ws(const T& x)const {w(x), putsp; return *this;}
	inline IO l() {putline; return *this;}
	inline IO s() {putline; return *this;}
}io;
template<typename T> inline T Max(const T& x, const T& y) {return y < x ? x : y;}
template<typename T> inline T Min(const T& x, const T& y) {return y < x ? y : x;}
template<typename T> inline void Swap(T& x, T& y) {T tmp = x; x = y; y = tmp;}
template<typename T> inline T Abs(const T& x) {return x > 0 ? x : -x;} 
//D[n] = (n - 1) * (D[n - 1] + D[n - 2])
#include
const int NN = 100000000, N = 8;
const int MAXLEN = 1005;
struct Bigint {
	ll A[MAXLEN / N + 1];
	int len;
	Bigint(ll x = 0) {
		memset(A, 0x00, sizeof A);
		if(x == 0) len = 1;
		else {
			len = 0;
			while(x) {
				A[len++] = x % NN;
				x /= NN;
			}
		}
	}
	void Write() {
		io.w(A[len - 1]);
		for(rg int i = len - 2; i >= 0; i--) {
			for(rg int j = NN / 10; A[i] < j; j /= 10) putchar('0');
			if(A[i]) io.w(A[i]);
		}
	}
	ll& operator[] (const int& k) {return A[k];}
	ll operator[] (const int& k)const {return A[k];} 
	Bigint operator + (const Bigint& B)const {
		Bigint C;
		C.len = Max(len, B.len);
		for(rg int i = 0; i < C.len; i++) {
			C[i] += A[i] + B[i];
			C[i + 1] += C[i] / NN;
			C[i] %= NN;
		}
		if(C[C.len]) C.len++;
		while(C[C.len - 1] == 0 && C.len > 1) C.len--;
		return C;
	}
	Bigint operator * (const int& B)const {
		Bigint C;
		C.len = len;
		for(rg int i = 0; i < C.len; i++) {
			C[i] += A[i] * B;
			C[i + 1] += C[i] / NN;
			C[i] %= NN;
		}
		if(C[C.len]) C.len++;
		while(C[C.len - 1] == 0 && C.len > 1) C.len--;
		return C;
	}
};
int n;
Bigint D[205];
int main() {
    //io.RS();
    io.r(n);
    D[1] = 0;
    D[2] = 1;
    for(rg int i = 3; i <= n; i++) {
		D[i] = (D[i - 2] + D[i - 1]) * (i - 1);
	}
    D[n].Write();
    return 0;
}